Repère ou base de l'espace
Repère ou base de l'espace
Repère ou base de l’espace
Définition :
→u, →v, et →w constituent une base de l’espace si et seulement si il n’existe pas de combinaisons linéaires de →u, →v, et →w c’est à dire que lorsque :
α→u+β→v+γ→w=→0 alors
α=β=γ=0.
Cela signifie aussi que →u, →v, et →w ne sont pas coplanaires.
Utiliser un repère dans l’espace permet de trouver les coordonnées de points de l’espace, ce qui permet de résoudre certains problèmes.
Exemple 1 :
Soient (→i, →j, →k) une base de l’espace,
Soient →u=→i+3→j, →v=−→i+→j et →w=→k,
(→u, →v, →w) est-elle une base ?
Soient α,β,γ∈R tels que
α→u+β→v+γ→w=→0
⟺α→i+3α→j–β→i+β→j+γ→k=→0
⟺(2α–β)→i+(3α+β)→j+γ→k=→0
Or (→i, →j, →k) est une base de l’espace, ce qui signifie que les trois réels multiplicateurs de la combinaison linéaire précédente sont nuls :
{α–β=03α+β=0γ=0
⟺{α=β4α=0γ=0
Ainsi, α=β=γ=0.
Donc (→u, →v, →w) est une base.
Exemple 2 :
On étudie ici la décomposition d’un vecteur sur une base.
Soit ABCDEFGH un cube,
Soit I milieu de [FB],
On souhaite décomposer →HI sur la base (→AB, →AD, →AE), qui est une base car les vecteurs ne sont pas coplanaires car (AE) n’appartient pas au plan ABD.
On décompose →HI grâce à la relation de Chasles :
→HI=→HG+→GF+→FI.
Il s’agit ensuite de faire apparaitre les vecteurs de la base, en utilisant les égalités de vecteurs dans un cube :
→HI=→AB–→AD–12→AE.
Combinaisons linéaires et vecteurs de l'espace
Combinaisons linéaires de vecteurs de l’espace
Propriété :
Soient →u, →v et →w trois vecteurs de l’espace non nuls,
On dit que →w est une combinaison linéaire de →u et de →v s’il existe α,β∈R tel que
→w=α→u+β→v
→u, →v et →w sont alors coplanaires, c’est à dire qu’ils appartiennent à un même plan.
Exercice 1
Soit ABCDEFGH un pavé droit et I cette de ABCD,
On pose →u=3→AB, →v=→BD+→BE et →w=3→AI+→IE
Montrer que →u, →v et →w sont coplanaires.
→u=3→AB=3→AI+3→IB=3→AI+→IB+2→IB=3→AI+→IE+→EB+2→IB=→w–→BE–→BDcar I milieu de [BD]=→w–→v
Ainsi, →u, →v et →w sont coplanaires.
Exercice 2
Montrons que →IL, →BC et →CD sont coplanaires.
Dans le repère (A,→AB,→AC,→AD), déterminons les coordonnées des I, J et L.
I(12;0;0)
→AL=→AI+→IL=→AI+12→IJ=→AI+12→IA+12→AJ=12→AI+12→AJ=14→AC+14→AD
L(0;14;14)
Calculons à présent les vecteurs →IL, →BC et →CD.
→IL(–121414)
→BC(–110)
→CD(0−11)
On peut alors remarquer que →IL=12→BC+14→CD.
Ainsi, →IL, →BC et →CD sont coplanaires.
