Vecteurs directeurs d’une droite et équation cartésienne

Vecteurs directeurs d'une droite et équation cartésienne

Vecteurs directeurs d’une droite et équation cartésienne

Définition 

Toute droite du plan possède une équation de la forme $ax + by + c = 0$ (avec $a$ ou $b$ non nul) appelée équation cartésienne de la droite.

Réciproquement, l’ensemble des points $M(x, y)$ tel que $ax + by + c = 0$  (avec $a$ ou $b$ non nul) est une droite. 

Par exemple, $5x -2y + 1 = 0$ est une équation cartésienne de droite, cependant $10x -4y + 2 = 0$ est aussi une équation de la même droite : on parle donc d’une équation cartésienne, alors qu’il n’existe qu’une seule équation réduite de droite, que l’on trouve en isolant $y$,

$y = \dfrac{5}{2}x + \dfrac{1}{2}$. 

Propriété 

Une droite d’équation $ax + by + c = 0$ admet comme vecteur directeur $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} -b \\a \end{array} \right )$

Exemple :

On considère la droite d’équation cartésienne $5x – 2y + 1 = 0$. On souhaite tracer cette droite.

On commence par trouver un vecteur directeur, en appliquant la propriété précédente. $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 2 \\5 \end{array} \right )$ est un vecteur directeur de la droite. 

Il faut ensuite trouver un point appartenant à cette droite.

Pour cela, on choisit une valeur de $x$ quelconque et on calcule la valeur de $y$ correspondante.

Ici, on décide de prendre $x = 1$, et on trouve alors $y = 3$. Le point $A(1; 3)$ appartient donc à la droite. 

On place ensuite le point $A$ puis on trace le vecteur directeur à partir de ce point pour obtenir la droite.