Variance et écart-type

Considérons la série statistique suivante donnée sous forme d’un tableau.

Valeurs	$x_1$	$x_2$	…	$x_p$
Effectifs	$n_1$	$n_2$	…	$n_p$

Sur la première ligne figurent les valeurs de la série et sur la seconde les effectifs.

L’effectif total $N$ correspond à la somme des effectifs : $N = n_1 + n_2 + … + \ n_p$ .

La moyenne $\overline{x}$ est égale à

$\overline{x} = \dfrac{n_1\ x_1 +\ n_2\ x_2 +\ … \ +\ n_p\ x_p}{N}$ .

La variance $V$ vaut

$V = \dfrac{n_1 \ (x_1 – \overline{x})^2 + n_2 \ (x_2 – \overline{x})^2 + \ … \ + n_p \ (x_p – \overline{x})^2}{N}$ .

L’écart type noté $\sigma$ correspond à la racine carrée de la variance :

$\sigma = \sqrt{V}$ .

Exemple :

Considérons la série statistique suivante donnant les notes d’élèves ainsi que les effectifs correspondant:

Notes	$8$	$9$	$10$	$11$
Effectifs	$2$	$2$	$1$	$1$

Ainsi deux élèves ont eu 8, deux élèves ont eu 9.

L’effectif total est $N = 2 + 2 + 1 +1 = 6$ .

La moyenne vaut :

$\overline{x} = \dfrac{2 \times 8 + 2 \times 9 + 1 \times 10 + 1 \times 11}{6} \approx 9,2$ .

La variance vaut

$V = \dfrac{2(8 – 9,2)^2 + 2(9 – 9,2)^2 + 1(10 – 9,2)^2 + 1(11 – 9,2)^2}{6} \approx 1,14$ .

L’écart type vaut donc

$\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{1,14} \approx 1,1$ .

L’écart type représente l’écart moyen des notes par rapport à la moyenne générale.

Cela signifie donc qu’en moyenne dans ce groupe d’élèves, chacun a un écart d’environ 1 point par rapport à la moyenne.

L’écart type est ici peu élevé. En effet, les notes sont relativement rassemblées autour de la moyenne : il n’y a pas de dispersion.

Ainsi, l’écart type sert à quantifier la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.