Variable aléatoire, espérance

Variable aléatoire et loi de probabilité

Etant donnée une expérience aléatoire, on appelle variable aléatoire, toute grandeur numérique dont la valeur dépend de l’issue de l’expérience.

Exemple

On lance un dé à 6 faces.

Si le résultat est pair, le joueur gagne le double du résultat.

Si le résultat est impair, le joueur perd le double du résultat.

Soit $X$ la variable aléatoire mesurant le gain du joueur.

Voici les valeurs possibles de $X$

La loi de probabilité d’une variable aléatoire est l’ensemble des valeurs possibles de $X$ et les probabilités de chacune d’elles.

La somme des probabilités associées aux valeurs de $X$ est égale à 1.

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_i=1$

Erratum : Sur le tableau de l’exemple du 2) il est écrit $-1$ il s’agit en fait de $-2$.

Soit $X$ une variable aléatoire et sa loi de probabilité :

On appelle espérance de la variable aléatoire $X$, le nombre $E(X)$:

$E(X)=x_1 \times p_1+x_2 \times p_2+\ldots+x_n \times p_n$

$E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_ip_i$

Exemple

Calculer l’espérance de $X$

$E(X)= -2 \times 0,2 + 3\times 0,3 + 5 \times 0,5 $

$E(X)=3$

L’espérance de $X$ représente la valeur moyenne de $X$ : c’est celle que l’on peut espérer obtenir en répétant un grand nombre de fois l’expérience.

Exemple

On lance une pièce truquée : la probabilité d’obtenir pile est de $0,6$.

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain du joueur. Déterminer interpréter son espérance.

étape 1: Loi de probabilité de $X$ :

étape 2: Calcul de l’espérance :

$E(X)= -1 \times 0,6 + 2 \times 0,4 $

$E(X)= 0,2$

étape 3: Interprétation de l’espérance.

En répétant un grand nombre de fois l’expérience, on peut espérer avoir un gain moyen de 0,2 soit 20 centimes d’euros par lancer.

L’espérance de $X$ représente la valeur moyenne de $X$ : c’est celle que l’on peut espérer obtenir en répétant un grand nombre de fois l’expérience.