Valeur moyenne

Expression d'une primitive à l'aide d'une intégrale

À savoir par cœur :

Si $f$ est continue sur $I$ alors pour tout réel $a$ de $I$ ,

$F(x)=\displaystyle\int_{a}^x f(t)dt$ est une primitive de $f$ sur $I$ .

Ainsi $( \displaystyle\int_{a}^x f(t)dt )’=f(x)$ .

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ est continue sur $[a,b]$ .

On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ , le nombre réel $\mu$ défini par :

$\displaystyle \mu = \frac{1}{b-a} \int_{a}^b f(t)dt$

On peut déterminer la valeur de l’intégrale de $f$ en effectuant le produit en croix:

$\displaystyle \mu (b-a)= \int_{a}^b f(t)dt = \mathcal{A}$

Voici l’exemple de la fonction $f(x)=0,25x^2-1$ sur l’intervalle $[-3;7]$