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Trigonométrie dans le triangle rectangle

Trigonométrie

Trigonométrie

 

La trigonométrie permet de mettre en relation des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.

 

Vocabulaire

L’hypoténuse correspond au plus grand côté, en face de l’angle droit.

Le côté touchant l’angle ˆB autre que l’hypoténuse est appelé le côté adjacent.

Le côté en face de l’angle ˆB est appelé le côté opposé.

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On définit ainsi le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle ˆB par :

cosˆB=côté adjacenthypoténuse

sinˆB=côté opposéhypoténuse

tanˆB=côté opposécôté adjacent

 

Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de ses définitions est :

CAH-SOH-TOA :

Cosinus =  Adjacent divisé par l’Hypoténuse,

Sinus = Opposé divisé par l’Hypoténuse,

Tangente = Opposé divisé par Adjacent

 

Propriétés

Le cosinus et le sinus d’un angle sont reliés par la relation suivant : (cosˆB)2+(sinˆB)2=1

Enfin, la tangente d’un angle peut être définie à partir du sinus et du cosinus de l’angle : 

tanˆB=sinˆBcosˆB

 

Exemple : 

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On cherche la valeur de l’angle ˆM.

Il s’agit donc de déterminer si il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.

Ici, l’hypoténuse est donné ainsi que le côté adjacent : on utilise donc le cosinus. 

Ainsi, cosˆM=MOMP

cosˆM=6110,545

Donc en utilisant la calculatrice pour déterminer l’angle en connaissant la valeur de son cosinus on trouve ˆM56,9°

Trigonométrie : sinus

Trigonométrie

 

Sinus 

 

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle α est défini par :

sin(α)=côté opposéhypoténuse.

 

Exemple :

Dans le triangle ABC, rectangle en A, on veut calculer le sinus de l’angle ^ACB.

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La première étape consiste à repérer sur la figure le côté opposé à l’angle ^ACB qui est en face de l’angle, le côté adjacent à cet angle qui touche l’angle et l’hypoténuse qui est le plus grand côté, en face de l’angle droit.

La notion de côté opposé et de côté adjacent est une notion qui dépend de l’angle. 

Ainsi,

sin(^ACB)=ABBC

Le sinus permet de calculer une longueur ou la mesure d’un angle.

 

Exemple 1 : Calcul d’une longueur

Soit GEF un triangle rectangle en F, dont on connait la valeur de l’angle ^GEF et la longueur GF.

On cherche la longueur GE

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On place ensuite sur le schéma le nom des différents côtés par rapport à l’angle dont on connait la mesure. 

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Comme on cherche l’hypoténuse en connaissant un angle et son côté opposé, la formule à utiliser est celle du sinus :

Dans le triangle GEF, rectangle en F,

sin(^GEF)=GFGE

On remplace dans cette formule les mesures dont on dispose.

sin(35°)=3EG

Ainsi, EG=3sin(35°).

On calcule enfin le résultat à l’aide de la calculatrice.

On donne une valeur approchée de EG :

EG5,2cm. 

Exemple 2 : Calcul de la mesure d’un angle

Soit IJK un triangle rectangle en J, dont on connait les longueurs IJ et IK. On cherche la mesure de l’angle ^IKJ

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On place sur le schéma le nom des côtés par rapport à l’angle ^IKJ

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Connaissant le côté opposé et l’hypoténuse de l’angle ^IKJ et cherchant sa valeur, on utilise la formule du sinus qui lie ces trois grandeurs. 

Dans le triangle IJK, rectangle en J,

sin(^IKJ)=IJIK

En remplaçant par les mesures connues, à exprimer dans la même unité, on trouve :

sin(^IKJ)=59

On utilise la calculatrice pour calculer ^IKJ, en appuyant sur la touche arcsin ou sin1 puis en rentrant la quotient 59

On trouve alors :

^IKJ34°.

Trigonométrie : tangente

Trigonométrie – tangente 

 

Définition

 

Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu α vaut :

tan(α)=côté opposécôté adjacent.

Exemple :

Soit ABC un triangle rectangle en B
On commence par repérer les côtés : le côté hypoténuse est le côté plus grand, en face de l’angle droit, le côté qui touche l’angle est le côté adjacent et le côté en face de l’angle est le côté opposé. 

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Ainsi, tan(^BAC)=BCAB

Cette formule permet de calculer soit une longueur, soit la mesure d’un angle. 

 

Exemple 1 : Calcul d’une longueur 

Soit RST un triangle rectangle en S dont on connait l’angle ^RTS et la longueur du côté [SR]. On cherche la longueur du côté [ST]

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On commence par repérer les différents côtés. 

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La formule reliant le côté opposé, le côté adjacent et l’angle est la formule de la tangente.
Dans le triangle RST rectangle en S.

tan(^RTS)=SRST.

On remplace les mesures que l’on connait.

tan(67°)=4ST.

Donc ST=4tan(67°).

En utilisant la calculatrice, on trouve ST1,7cm. 

Exemple 2 : Calcul de la mesure d’un angle 

Soit POL un triangle rectangle en O dont on connait les longueurs PO et OL et dont on cherche la mesure de l’angle ^OPL

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On commence par repérer les différents côtés. 

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La formule reliant le côté opposé, le côté adjacent et l’angle est la formule de la tangente.
Dans le triangle rectangle POL, rectangle en O,

tan(^OPL)=OLOP

On remplace les mesures que l’on connait.

tan(^OPL)=47

On utilise la touche arctan ou tan1 de la calculatrice pour avoir la mesure de l’angle ^OPL.

Ainsi, ^OPL30°

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