Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels dans l’intervalle I tels que a⩽b.
Alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.
Illustration graphique
La fonction représentée en bleu est continue sur I=[a,b].
Pour k compris entre f(a) et f(b), on remarque graphiquement qu’il existe un c1 dans [a,b] tel que f(c1)=k.
On voit, aussi qu’il existe deux autres c2 et c3 dans [a,b] tels que f(c2)=k et f(c3)=k. (D’où, dans le théorème, l’importance de l’expression “au moins”)
Cas des fonctions strictement monotones
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a,b] avec a⩽b.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.
Illustration graphique
La fonction représentée en bleu est continue et strictement croissante sur I=[2,4].
Pour k compris entre f(2) et f(4), on remarque graphiquement qu’il existe un unique c dans [2,4] tel que f(c)=k.
Théorème des valeurs intermédiaires - Exercice
Soit f(x)=x–ex+2 avec Df=R.
Montrons qu’il existe une unique solution de f(x)=0 lorsque x∈[1;2].
Ce qu’il faut savoir faire :
- Étape 1 : On précise que f est continue sur l’intervalle comme somme de fonctions continues.
- Étape 2 : On calcule la dérivée f′ pour étudier les variations de f.
- Étape 3 : On note que la fonction est strictement décroissante sur [1;2].
- Étape 4 : On calcule f(1) et f(2).
- Étape 5 : On applique le théorème des valeurs intermédiaires : il existe un unique réel α tel que f(α)=0.
