Théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes

Le théorème des gendarmes

Théorème

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $a$ une borne de $I$ ($a$ est réel ou infini).

Si $f$, $g$, et $h$ sont trois fonctions définies sur $I$ telles que, pour tout $x\in I$ : $f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)$

Si de plus $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x) = \ell$  avec $\ell\in \mathbb{R}$, alors :

$\displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = \ell$

Illustration graphique

Le calcul d’une limite se fait très régulièrement par l’intermédiaire d’inégalités. Il est important d’avoir quelques inégalités en tête lors d’un exercice sur les fonctions.

En voici quelques-unes des plus utiles dans le cadre du théorème des gendarmes :

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $e^x\geqslant x+1$.

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $|\sin(x)|\leqslant 1$ et $|\cos(x)|\leqslant 1$.

Pour tout $x>0$, $\ln(x)\leqslant x-1$.