Système de deux équations à deux inconnues
Système de deux équations à deux inconnues
Système de deux équations à deux inconnues
Définition
Un système est représenté par une grande accolade marquant l’ensemble des deux équations avec deux inconnues, généralement x et y.
Ainsi, un exemple de système est
{x–y=–7(1)−2x+y=4(2)
Pour différencier chacune des deux équations, on peut numéroter les équations.
Solutions d’un système
Résoudre un système c’est trouver, s’il existe, un couple de nombres (x;y) vérifiant les deux équations.
La solution sera donc un couple (x;y) de deux nombres.
Ici, la solution est (3;10).
En effet, en remplaçant x par 3 et yy par 10, on obtient :
x−y=3−10=−7
La première équation est vérifiée.
−2x+y=−2×3+10=−6+10=4
La deuxième équation est vérifiée.
On notera l’ensemble des solutions :
S={(3;10)}
Il existe deux méthodes pour résoudre un système : la méthode par substitution et la méthode par combinaison.
Système de deux équations à deux inconnues - Méthode par substitution
Système de deux équations à deux inconnues – Méthode par substitution
On cherche à résoudre le système suivant {x+2y=13(1)2x–3y=12(2) par la méthode de substitution.
La première étape consiste à isoler dans une des deux équations une des deux inconnues.
Ici, on choisit d’isoler x dans la première équation car il n’y a pas de coefficient multiplicateur devant, permettant de l’isoler plus rapidement.
On soustraie donc des deux côtés de l’égalité de la première équation 2y :
{x=13–2y(1)2x–3y=12(2)
Il suffit maintenant de remplacer la valeur de l’inconnue isolée dans l’autre équation.
2(13–2y)–3y=12 : il s’agit ainsi d’une équation à une seule inconnue.
Après développement,
26–4y–3y=12
On regroupe ensuite les termes en y,
26–7y=12
Puis on isole y :
26−7y−26=12–26
Ainsi −7y=−14.
Enfin en divisant par −7 des deux côtés de l’égalité on obtient
y=−14−2, c’est à dire y=2.
Il s’agit maintenant de déterminer la valeur de x. On remplace donc y par sa valeur dans l’équation où x est isolé :
x=13–2×2 c’est à dire x=9.
Ainsi, l’unique solution du systèmes est le couple (9;2).
Système de deux équations à deux inconnues - Méthode par combinaison
Système de deux équations à deux inconnues – Méthode par combinaison
La méthode par combinaison consiste à combiner les deux équations.
On souhaite résoudre le système suivant :
{3x+y=1(1)2x+3y=−4(2)
La première étape consiste à faire apparaitre dans les deux équations le même coefficient multiplicatif devant x ou y.
Il suffit de multiplier la première équation par 3 pour obtenir 3y dans les deux équations.
{9x+3y=3(1)×32x+3y=−4(2)
La deuxième étape consiste à soustraire membre à membre des deux côtés de l’égalité.
(9x+3y)–(2x+3y)=3–(−4)
Ainsi, cela permet d’écrire une équation à une inconnue x car les termes en y se simplifient :
9x–2x+3y–3y=7.
7x=7
Ainsi, après avoir divisé par 7 des deux côtés, x=1.
Puis on remplace dans une des deux équations de départ x par sa valeur 1 pour trouver la valeur de y :
3×1+y=1
3+y=1
3+y–3=1–3
y=−2.
L’unique solution du sytème est donc (1;−2).
On peut alors vérifier la solution :
3×1+(−2)=3–2=1 et 2×1+3×(−2)=2–6=−4.
