Système d’équations paramétriques de droites

Équation paramétrique d'une droite

Soit une droite $D$ définie par un point $A(x_A;y_A;z_A)$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}(\alpha;\beta;\gamma)$ non nul.

Un point $M(x;y;z)$ appartient à $D$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

C’est-à-dire s’il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}$ .

On traduit cette égalité par un système d’équations paramétriques de la droite $D$ :

$D\left\{ \begin{array}{ll}x-x_A=k\alpha \\y-y_A=k\beta \\z-z_A=k\gamma\end{array} \right.$ avec $k \in \mathbb{R}$

Exemple

Soit $\Delta$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ , avec $\overrightarrow{u} (-2;-1;3)$ et $A(3;4;-5)$ .

Donner un système d’équations paramétriques de $\Delta$

Correction

On définit un système d’équations paramétriques de $\Delta$ à partir des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ et du point $A$ .

$\Delta\left\{ \begin{array}{ll}x-3=k(-2) \\y-4=-k \\z+5=3k\end{array} \right.$ avec $k \in \mathbb{R}$

$\iff$ $\Delta\left\{ \begin{array}{ll}x=3-2k \\y=-k+4 \\z=3k-5\end{array} \right.$ avec $k \in \mathbb{R}$

Soit $\Delta (\overrightarrow{u}; A)$ avec $\overrightarrow{u} (-2, 1, 3)$ et $A(3, 4, -5)$ .

Donner l’équation paramétrique de $\delta$ .

Étape 1 : On définit l’équation paramétrique de $\Delta$ à partir des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ et du point $A$ .
Étape 2 : On réécrit l’équation paramétrique afin de correspondre au format habituel.

Soit $\Delta \left\{ \begin{array}{ll} x = 3t + 1 \\ y = 2 – 2t \\ z =4 \end{array} \right.$

Déterminons un vecteur directeur de $\Delta$ et un point $C$ de $\Delta$ .

Étape 1 : On réécrit le système afin de le faire correspondre au format du cours.
Étape 2 : À partir de cette expression, on en déduit les coordonnées d’un vecteur directeur de $\Delta$ et d’un point $C$ de $\Delta$ .