Le symbole sigma
Le symbole sigma
Le symbole Sigma Σ permet de désigner la somme d’une famille finie de termes.
Par exemple q∑k=pUk=Up+Up+1+ …+ Uq.
En effet, ici on souhaite calculer la somme des Uk où k est l’indice de sommation, pour k variant de p à q, avec p,q∈N et p≤q.
Considérons un exemple concret : 5∑i=13i qui se lit somme de 3i pour i variant de 1 à 5
5∑i=13i=31+32+33+34+35.
5∑i=13i=3+9+27+81+243=363
On remarquera que l’indice de sommation est muet, il n’intervient pas dans le résultat final : on peut donc prendre la lettre que l’on souhaite (k,i,…).
Ainsi, 5∑i=13i=5∑k=13k=5∑j=13j
Autre exemple :
3∑i=02i−1=(2×0−1)+(2×1−1)+(2×2−1)+(2×3−1)
3∑i=02i−1=−1+1+3+5=8
Le symbole sigma - Exercices 1 et 2
Exercice 1 :
Calculer −2∑k=−54k.
- Étape 1 : On explicite chaque terme de la somme.
- Étape 2 : On simplifie et on calcule la somme.
Exercice 2 :
Calculer 7∑k=1(−1)k+1.
- Étape 1 : De la même manière, on explicite chaque terme de la suite.
- Étape 2 : On simplifie et on calcule la somme.
Le symbole sigma - Exercices 3 et 4
Exercice 3 :
Exprimer avec le symbole ∑ l’expression
U2+U4+…+U50.
- Étape 1 : On cherche à trouver les bornes de variation de l’indice k et la façon d’exprimer la suite.
- Étape 2 : Pour retrouver tous les rangs pairs, on exprime la suite sous la forme 2k.
- Étape 3 : On définit les bornes de la somme pour que la suite commence à U2 et termine à U50.
Exercice 4 : Exprimer avec le symbole ∑ l’expression 1–3+9–27+81–…–2187.
- Étape 1 : On reconnaît une suite de puissance de 3.
- Étape 2 : Pour correspondre à la somme proposée, on utilisera les puissances de −3.
- Étape 3 : On définit les bornes de la somme pour qu’elle commence à 1 (ou (−3)0) et termine à -2187 (ou (−3)7).
