Suites géométriques

Comportement asymptotique d'une suite géométrique

Comportement asymptotique d’une suite géométrique

I) Inégalité de Bernoulli 

Enoncé : 

Pour tout réel $a$ positif, 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$(1+a)^n \geq 1 +na$

Il convient de connaître la démonstration de cette inégalité à l’aide du principe de récurrence.

Démonstration :

Soit $a \in \mathbb{R}_+$,

Initialisation :

On vérifie si la propriété est vraie pour $n = 0$.

Pour $n = 0$, $1 + 0 \times a = 1$ et $(1+a)^0 = 1$ par définition. 

Or $1 \geq 1$ donc $(1+a)^0 \geq 1 + 0 \times a$

La propriété est donc initialisée.

Hérédité :

Soit $n \in \mathbb{N}$,

On suppose que la propriété est vraie au rang $n$.

Cela signifie donc que $(1+a)^n \geq 1 + na$ (c’est l’hypothèse de récurrence).

Alors $(1 + a)^{n+1} \geq (1+a)(1+a)^n$.

Or on sait d’après l’hypothèse de récurrence que :

$(1+a)^n \geq 1 + na$ , c’est à dire :

$(1+a)(1+a)^n \geq (1+a)(1 + na)$ car $(1 + a) > 0$.

En outre,

$(1+a)(1 + na) = 1 + na + a + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2$.

Or $na^2 \geq 0$ donc,

$1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a$.

Finalement, on vient de montrer que :

$(1 + a)^{n+1} \geq 1 + (n+1)a$.

La propriété est donc vraie au rang $(n+1)$.

D’après le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Ainsi, Pour tout réel $a$ positif, Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(1+a)^n \geq 1 +na$

II) Limite de $q^n$ lorsque $n \to +\infty$

On distingue différents cas selon la valeur de $q$.

• Si $q > 1$

On pose alors $a = q  – 1 >0$, donc $q = 1 +a$.

Ainsi, pour $n \in \mathbb{N}$, $q^n =(1 + a)^n \geq 1 + na$ (car $a > 0$) d’après l’inégalité de Bernoulli.

Par positivité de $a$, on sait que $\lim \limits_{n \to + \infty} ( 1 + na) = + \infty$.

Par comparaison, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = + \infty$

• Si $-1 < q < 1$

On remarque alors que $|q| < 1$.

Supposons tout d’abord que $q \neq 0$.

Dans ce cas, $\dfrac{1}{|q|} > 1$.

Par application directe du résultat précédent,

$\lim \limits_{n \to + \infty} \left ( \dfrac{1}{|q|} \right ) ^n =\dfrac{1}{|q|^n} =  + \infty$.

Par passage à l’inverse, il vient que $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 0$.

Enfin, lorsque $q = 0$, la suite est constamment nulle et sa limite vaut donc 0.

Ainsi, lorsque $-1 < q < 1$ , $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 0$.

• Si $q = 1$

Alors $q^n =1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Ainsi, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 1$

• Si $q = -1$

On remarque que lorsque $n$ est pair, c’est à dire lorsqu’il s’écrit sous la forme $n = 2p$ avec $p$ un entier naturel, alors

$q^n = q^{2p} = {((-1)^2)}^p = 1^p = 1$.

Ainsi, $\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p} =1$.

De même, lorsque $n$ est impair, c’est à dire lorsqu’il s’écrit sous la forme $n = 2p + 1$ avec $p$ un entier naturel, alors

$q^n = q^{2p + 1} = {((-1)^2)}^p \times (-1) = 1^p\times (-1) = -1$.

Ainsi, $\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p+1} =-1$.

Ainsi, comme la suite prend alternativement les valeurs $-1$ et $1$, elle ne peut converger : la suite n’admet donc pas de limite. 

• Si $q < -1$

Alors $q^2 > 1$

Ainsi, la suite $q^{2p}$, $p \in \mathbb{N}$ par application du premier cas a pour limite

$\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p} = +\infty$.

De même,

$\lim \limits_{p \to + \infty} q^{2p+1} =\lim \limits_{p \to + \infty} q \times q^{2p}  =- \infty$ car $q$ est négatif.

Ainsi, comme la suite prend alternativement des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes en valeur absolue, elle ne peut converger : la suite n’admet donc pas de limite. 

Pour résumer :

• Si $q > 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = + \infty$
• Si $-1 < q < 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 0$
• Si $q = 1$, $\lim \limits_{n \to + \infty} q^n = 1$
• Si $q = -1$, $(q^n)$ n’a pas de limite, c’est une suite bornée
• Si $q < -1$, $(q^n)$ n’a pas de limite.