Suites convergentes

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Convergence des suites
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Convergence des suites - Exercice
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Suites convergentes

Convergence des suites

Définitions

On dit qu’une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est majorée par $M$ si, et seulement si pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $u_n\leqslant M$ .

On dit qu’une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est minorée par $m$ si, et seulement si pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $u_n\geqslant m$ .

Théorème de la limite monotone

$\bullet$ Toute suite à valeurs réelles croissante et majorée par $M$ est convergente vers $\ell$ avec $\ell \leqslant M$ .

$\bullet$ Toute suite à valeurs réelles décroissante et minorée par $m$ est convergente vers $\ell$ avec $\ell \geqslant m$ .

Remarque : Le minorant (ou majorant) n’est pas nécessairement la limite de la suite!

Exemple :

On considère la suite $(u_n)$ définie par récurrence de la manière suivante :

$u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$

1) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n\leqslant 4$ .

2) Démontrer que $(u_n)$ est une suite croissante.

3) La suite $(u_n)$ est-elle convergente?

Correction

1) On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété ” $u_n\leqslant 4$ ” et on va démontrer par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Initialisation : on a $u_0=0\leqslant 4$ donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : on suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un certain $n\in\mathbb{N}$ .

On sait que $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$ donc comme par hypothèse de récurrence $u_n\leqslant 4$ on a :

$\sqrt{3u_n+4}\leqslant \sqrt{12+4}=4$ c’est-à-dire $u_{n+1}\leqslant 4$ .

Ainsi $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie et la récurrence est établie.

2) On a, pour tout $n\in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f:x\mapsto \sqrt{3x+4}$ et on sait que $0\leqslant u_n\leqslant 4$ .

Il suffit donc d’étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0,4]$ pour trouver les variations de la suite $(u_n)$ .

Or la fonction $f$ est la composée de deux fonctions croissantes (racine carrée et une fonction affine à pente positive) donc $f$ est croissante.

Il en résulte donc que la suite $(u_n)$ est croissante.

3) D’après le théorème de la limite monotone, comme $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$ , elle est convergente et en notant $\ell$ sa limite, on a $0\leqslant \ell \leqslant 4$

Convergence des suites - Exercice

Soit $U_0 = 0$ et $U_{n+1} = \sqrt{3U_n + 4}$ .

1) Démontrer que $U_n$ est majorée par 4.

Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que $U_n$ est majorée par 4.

Étape 1 : Initialisation. On vérifie que la propriété est vraie au premier rang, ici $U_0$ .
Étape 2 : Hérédité. On pose l’hypothèse que $U_n$ est inférieure ou égale à 4.
Étape 3 : On part de cette inégalité pour retrouver $U_{n+1}$ .

2) Démontrer que $U_n$ est croissante.

Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que $U_n$ est croissante.

Étape 4 : Initialisation. On calcule $U_0$ et $U_1$ pour vérifier que la suite est croissante aux premiers rangs.
Étape 5 : Hérédité. On pose l’hypothèse qu’à un rang $n$ la suite est croissante ( $U_n$ inférieure ou égale à $U_{n+1}$ .
Étape 6 : On part de l’inégalité $U_n \leq U_{n+1}$ pour retrouver $U_{n+1}$ et $U_{n+2}$ .

3) La suite converge-t-elle ?

D’après le cours, une suite croissante et majorée converge.

Suites convergentes

Définition :

Une suite de réels $(u_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ converge vers le réel $l$ si et seulement tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On note alors $\lim \limits _{n \to + \infty} u_n = l$ .

Ce formalise, introduit par Karl Weierstrass au 19e siècle, est nécessaire pour appréhender correctement les infiniment petit ou grand, pour lesquels l’intuition ne suffit pas.

On trace la droite des réels et la “droite” des entiers naturels. Soit un réel $l$ fixé, pour tout intervalle $I$ ouvert contenant $l$ , il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $I$ .

$I$ peut être choisi aussi petit que possible, non vidé ouvert autour de $l$ . Cela signifie que la quasi totalité des termes de la suite appartient à $I$ . En effet, seuls les termes de $0$ à $n_0 -1$ n’appartiennent pas à $I$ : il y en a donc un nombre fini. Intuitivement, en se rapprochant du nombre $l$ , la “densité” de termes $u_n$ augmente.

Mathématiquement, la définition s’écrit :
$\forall \epsilon >0 \exists n_0 \in \mathbb{N} | \forall n \in \mathbb{n}, n \geq n_0 \Rightarrow u_n \in ]l – \epsilon; l + \epsilon [$

Ou encore :

Pour tout $\epsilon >0$ , il existe un entier naturel $n_0$ , dépendant de $\epsilon$ , tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , dès que $n \geq n_0$ alors $u_n \in ]l – \epsilon; l + \epsilon [$

Propriété :

Démontrons que lorsque $(u_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ converge vers un réel $l$ , alors sa limite est unique.

On raisonne pour cela par l’absurde en supposant que $(u_n)$ converge vers $l_1$ et $l_2$ avec $l_1 < l_2$ .

On choisit un intervalle $I_1$ ouvert autour de $l_1$ et un intervalle $I_2$ autour de $l_2$ .

On sait qu’il existe un rang $n_1$ tel que pour $n \geq n_1 \Rightarrow u_n \in I_1$ .

De même, on sait qu’il existe un rang $n_2$ tel que pour $n \geq n_2 \Rightarrow u_n \in I_2$ .

On pose $n_0 = \max(n_1, n_2)$ , ainsi, on a $n_0 \geq n_1$ et $n_0 \geq n_2$ . Donc $u_{n_0} \in I_1 \cap I_2$ .

Comme les réels $l_1$ et $l_2$ sont différents, il est possible de trouver des intervalles $I_1$ et $I_2$ ouverts telle que l’intersection de ces deux intervalles soit vide, c’est à dire $I_1 \cap I_2= \varnothing$ .

Il y a donc une contradiction dans la mesure où l’ensemble $I_1 \cap I_2$ est l’ensemble vide mais contient aussi $u_{n_0}$ .

Ainsi, lorsqu’une suite possède une limite finie, cette limite est unique.

Une suite est convergente lorsqu’elle admet une limite finie.
Dans le cas contraire, une suite est divergente.
Cependant, il existe deux possibilités pour une suite divergente, soit la suite admet une limite infinie soit la suite n’admet pas de limite.

Exemple :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on définit la suite $u_n = (-1)^n$ . C’est une suite divergente qui n’admet pas de limite car elle alterne entre $1$ et $-1$ . Cette suite n’admet pas de limite car pour $n$ grand, il est toujours possible de trouver un terme qui n’appartient pas à l’intervalle ouvert $I = ]0,5; 1,5[$ , car certains termes valent $-1$ .

On a donc choisit $\epsilon = 0,5$ et on montre que pour tout $n_0 \in \mathbb{N}$ il existe des termes d’indices plus grand que $n_0$ qui n’appartiennent pas à $I$ .