Suites arithmétiques - Définition
Suites arithmétiques - Définition
Suites arithmétiques
Définition
Une suite arithmétique est une suite pour laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant le même nombre : la raison r.
Pour définir une suite arithmétique (un)(n∈N), il faut un premier terme, u0 généralement, et la raison r (r∈R).
On écrit alors : {un+1=un+ru0
Exemple :
Considérons la suite {un+1=un–7u0=17.
On obtient donc u1=17–7=10 et u2=10–7=3.
Cette définition par récurrence ne permet cependant pas de trouver directement n’importe quel terme de la suite : il faut avoir calculé tous les termes précédents.
Il existe néanmoins une formule générale, dite explicite, qui permet de calculer n’importe quel terme de la suite.
Propriétés
Pour tout n∈N un=u0+nr.
En effet, pour passer de u0 à un il faut ajouter n fois la raison.
Si le terme donné de la suite n’est pas u0, la formule plus générale est la suivante :
pour tous n, p∈N, un=up+(n–p)r.
En reprenant l’exemple précédent, on peut déterminer u7=u0+7×(−7)=−32
Comment montrer qu'une suite est arithmétique ?
Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?
La seule méthode pour montrer qu’une suite (un) est arithmétique consiste à étudier la différence entre le terme (n+1)ème de la suite et le nème pour tout n∈N ou encore à étudier la différence : un+1–un.
Si le résultat de cette différence est une constante, la suite est arithmétique, sinon elle ne l’est pas.
Considérons l’exemple suivant : un=3n–8 pour n∈N.
On étudie donc :
un+1–un=3(n+1)–8–(3n–8)=3n+3–8–3n+8=3
Ainsi, un+1–un=3, la différence est donc une constante donc (un) est une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme u0=3×0–8=−8.
Considérons à présent l’exemple suivant : un=n2–1 pour n∈N.
On étudie donc :
un+1–un=(n+1)2–1–(n2–1)=n2+2n+1−1−n2+1=2n+1
Ainsi, un+1–un=2n+1, la différence n’est donc pas une constante puisque ce résultat dépend de n donc (un) n’est pas une suite arithmétique .
