Suites arithmético-géométriques

Suites arithmético géométriques

Suites arithmético-géométriques 

Définition :

Une suite $(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique s’il existe $a, b$ réels tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$u_{n+1} = au_n + b$.

On donne la méthode générale pour déterminer l’expression de $u_n$ en fonction de $n$. Dans les exercices, les questions devraient guider à la résolution du problème. 

Méthode

1) On reconnait $a$ et $b$ dans $u_{n+1} = au_n + b$ et on résout $l = al + b$.

2) On montre que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n – l$ est une suite géométrique $(v_{n+1} = q \times v_n)$ et on détermine $v_0$.

3) On exprime $v_n$ en fonction de $n$ ($v_n = v_0 \times q^n$) puis $u_n$ en fonction de $n$ ($u_n = v_0\times q^n + l$)

Exemple : 

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 3u_n -6$

On souhaite déterminer l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.

$(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique avec $a = 3$ et $b = -6$.

On résout l’équation $l = 3l – 6$

$l = 3l – 6 \iff -2l = – 6 \iff l = 3$

On pose $v_n = u_n – 3$ pour tout entier naturel $n$.

Soit $n \in \mathbb{N}$,

$\begin{align} v_{n+1} &= u_{n+1} – 3 \\ &= 3u_n -6 – 3\\ &= 3u_n – 9 \\&= 3(u_n – 3) \\ &= 3v_n \end{align}$

$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0 = u_0 – 3 =5 – 3 = 2$

Ainsi, $v_n = 2 \times (3)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Or $v_n = u_n – 3$ donc $u_n = v_n + 3 = 2\times 3^n + 3$