Repères, plans et droites

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Crée ton compte

1
Espace, droites et plans
2
Repère et coordonnées - Exercice 1
3
Repère et coordonnées - Exercice 2
4
Vecteurs colinéaires, applications

Espace, droites et plans

Définitions

Une droite de l’espace peut être définie par :

deux points ou
un point et un vecteur directeur.

Un plan peut être défini par :

trois points non alignés

Une droite et un point extérieur à la droite

Deux vecteurs non colinéaires et un point

Repères et coordonnées

Définition

On appelle repère de l’espace tout quadruplet $(O; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})$ constitué d’un point $O$ de l’espace et de trois vecteurs non coplanaires.

On note $(Ox)$ l’axe dirigé par $\overrightarrow{i}$ , $(Oy)$ l’axe dirigé par $\overrightarrow{j}$ et $(Oz)$ l’axe dirigé par $\overrightarrow{k}$ .

Lorsque les droites $(Ox)$ , $(Oy)$ et $(Oz)$ sont perpendiculaires deux à deux, le repère est dit orthogonal.

Si de plus $||\overrightarrow{\imath}||=||\overrightarrow{\jmath}||=||\overrightarrow{k}||=1$ , le repère est dit orthonormal.

Théorème

Soit $(O; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})$ un repère de l’espace.

Pour tout point $M$ de l’espace, il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ tels que

$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ .

On dit alors que le point $M$ a pour coordonnées $(x ; y ; z)$ et on note $M(x;y;z)$ .

Repère et coordonnées - Exercice 1

Dans le repère $(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AE})$ , donnons les coordonnées des sommets du cube.

Étape 1 : Pour déterminer les coordonnées, on regarde les déplacements en abscisse, en ordonnée et en côte nécessaires pour se rendre de l’origine $A$ au point.

Repère et coordonnées - Exercice 2

1) Calculons les coordonnées de $I$ , milieu de $[AG]$ .

Étape 1 : On définit les coordonnées de $A$ et de $G$ .
Étape 2 : Pour calculer les coordonnées du milieu d’un segment, on fait la demi-somme de chaque coordonnées.

Calculons $AG$ .

Étape 3 : On utilise la formule du cours pour calculer la longueur d’un segment à partir des coordonnées de ses extrémités $A$ et $G$ :

$AG = \sqrt{(x_G – x_A)^2 + (y_G – y_A)^2 + (z_G – z_A)^2}$ .

Vecteurs colinéaires, applications

Soient $A(1, 3, -2)$ , $B(4, 0, 2)$ et $C(-2, y_C, z_C)$ .

Déterminons $y_C$ et $z_C$ tels que $A, B \text{ et } C$ soient alignés.

Objectif : Les points $A, B \text{ et } C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Étape 1 : On détermine les valeurs des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
Étape 2 : On cherche $k \in \mathbb{R^*}$ tel que $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}$ .
Étape 3 : On exprime cette égalité sous forme d’un système que l’on peut résoudre.