Relation de Chasles

Relation de Chasles

Relation de Chasles.

Convention

$\displaystyle\int_{a}^a f(t)dt=0$ et

$\displaystyle\int_{a}^b f(t)dt= – \int_{b}^a f(t)dt$

Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tous réels $a$, $b$, $c$ de l’intervalle $I$, on a :

$\displaystyle\int_{a}^c f(t)dt +\int_{c}^b f(t)dt =\int_{a}^b f(t)dt$

Exemple

Réduire les expressions suivantes :

1. $I = \displaystyle\int_{1}^2 (x^2 – 1) dx + \int_{1}^2 dx + \int_{2}^3 x^2 dx$

2. $J = \displaystyle\int_{0}^1 \frac{1}{1 + x^2} dx + \int_{-2}^0 \frac{1}{1 + x^2} dx$

Correction

1. Etape 1 : On utilise la linéarité de l’intégrale pour regrouper les intégrales de mêmes bornes.

$I = \displaystyle\int_{1}^2 (x^2 – 1+1) dx + \int_{2}^3 x^2 dx$

$I = \displaystyle\int_{1}^2 x^2 dx + \int_{2}^3 x^2 dx$

Etape 2 : Les fonctions sont les mêmes et les bornes se suivent, on utilise la relation de Chasles.

$I = \displaystyle\int_{1}^2 x^2 dx + \int_{2}^3 x^2 dx$

$I = \displaystyle\int_{1}^3 x^2 dx$

2. Etape 1 : La fonction $g(x)=\dfrac{1}{1 + x^2}$ est définie et continue sur $[-2;1]$.

On place la seconde intégrale devant la première pour retrouver la propriété.

$J = \displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{1 + x^2} dx +\int_{0}^1 \frac{1}{1 + x^2} dx$.

Etape 2 : On peut ainsi utiliser la relation de Chasles.

$J = \displaystyle\int_{-2}^1 \frac{1}{1 + x^2} dx$.