Puissances, notation scientifique

Soient $a$ un nombre réel et $n$ un entier, on étudie le nombre $a^n$, qui se lit $a$ puissance $n$. 

$n$ correspond à l’exposant et indique le nombre de fois où le réel $a$ est multiplié par lui même. 

Ainsi, $a^n = a \times a \times a …. \times a$       On multiplie le nombre $a$   $n$ fois par lui même. 

Par convention $a^0 = 1$. 

En outre, $a^1 = a$.

Exemples : 

$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. 

$10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 1 0000$. 

Notation

Soient $n$ un entier et $a$ un nombre réel différent de 0,

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. 

Exemple :

$10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0,01$. 

Propriétés des puissances de 10

$10 ^n$ correspond au nombre composé d’un $1$ puis de $n$ zéros.

$10^{-n}$ correspond au nombre composé de $n$ chiffres après la virgule, le dernier étant un 1, les autres des 0.

Exemples :

$10^7 = 10000000$.

$10^{-4} = 0,0001$. 

Propriétés des puissances

Soient $a$ un nombre réel et $n, p$ des entiers,

$a^n \times a^p = a^{n + p}$.

Exemple : $4 \times 4^3 = 4^1 \times 4^3 = 4^{1 + 3} = 4^4$. 

$\dfrac{a^n}{a^p} = a^n \times a^{-p} = a^{n – p}$, avec $a \neq 0$.

Exemple : $\dfrac{7^3}{7^4} = 7^{3 – 4} = 7^{-1} = \dfrac{1}{7}$. 

$(a^n)^p =a^{n \times p}$

Exemple : $(10^2)^{-3} = 10^{2 \times (-3)} = 10^{-6}$. 

Pièges à éviter :

$(-3)^2 \neq -3^2$, on ne peut pas enlever les parenthèses ! 

En effet, $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ et $-3^2 = -(3^2) = -9$.

$4^2 + 7^2 \neq 11^2$. Même si deux nombres différents ont le même exposant, on ne peut pas les ajouter !

$2^4 + 2^1 \neq 2^5$. On ne peut pas ajouter le même nombre avec des exposants différents !

$3^3 \times 4^3 = 12^3$. On peut ici réunir les nombres, mais uniquement dans la multiplication et si les exposants sont égaux !