Puissance d’une matrice

Puissance d'une matrice

Puissance d’une matrice carrée

Définition : matrice diagonale $D_n$

Une matrice est diagonale lorsque les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Voici un exemple de matrice diagonale d’ordre 3.

$D_3=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}$

Puissance d’une matrice diagonale $D_n$

Si on souhaite obtenir par exemple le carré de la matrice $D_3$, on élève au carré chaque coefficient de la diagonale. Ainsi :

$D_3^{2}=\begin{pmatrix} 3^2 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^2 & 0\\ 0 & 0 & 2^2\\ \end{pmatrix}$    $\iff$   $D_3^{2}=\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4\\ \end{pmatrix}$

Puissance d’une matrice carrée

De façon générale, pour toute matrice carrée $A$ et pour tout entier $n\geqslant {2}$ 

$A^2= A \times A$;

$A^3= A^2 \times A =A \times A^2$

$A^n= A^{n-1}\times A=A\times A^{n-1}$

Exemple

Par multiplications successives, on obtient aisément les puissances d’une matrice carrée d’ordre 2.

$A =\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1\\ \end{pmatrix}$ 

$A^2 =\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 9 & -2\\ \end{pmatrix}$ 

$A^3 =\begin{pmatrix} -7 & -4 \\ 12 & -11\\ \end{pmatrix}$