Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle 

 

Rappels

 

On considère dans tout le chapitre deux nombres réels a et b.

Pour rappel, la fonction exponentielle se note exp(a) ou ea.

Les propriétés de la fonction exponentielle sont les mêmes que celles des puissances.

L’exponentielle est strictement positive : ainsi, ea>0

exp(0)=e0=1

exp(1)=e1=e2,718

 

Exponentielle d’une somme

 

exp(a+b)=exp(a)exp(b)

Ou encore  :   ea+b=ea×eb

 

Exemple : 

e2×e4=e2+4=e6

e7×e11=e711=e4

 

Exponentielle d’une différence

 

exp(a)exp(a)=exp(aa)=exp(0)=1

exp(a)=1exp(a)

exp(ab)=exp(a)exp(b)

 

Démonstration 

exp(ab)=exp(a)exp(b)

exp(ab)=exp(a)×1exp(b)

exp(ab)=exp(a)exp(b).

 

Exponentielle d’une puissance

Soit n un entier relatif,

exp(na)=(exp(a))n   ou encore : 

ena=(ea)n

 

Exemple 

On souhaite simplifier l’expression de la fonction définie pour tout réel x par f(x)=exp(3x)×exp(2x1)(exp(x+2))2

f(x)=exp(3x)×exp(2x1)(exp(x+2))2=exp(3x+(2x1))(exp(x+2))2=exp(x1)(exp(x+2))2=exp(x1)exp(2×(x+2)=exp(x1)exp(2x+4=exp(x1(2x+4))=exp(3x5)

 

On peut aussi utiliser la notation ex

f(x)=e3x×e2x1(ex+2)2=e3x+(2x1)(ex+2)2=ex1(ex+2)2=ex1e2×(x+2)=ex1e2x+4=ex1(2x+4)=e3x5

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