Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Rappels
On considère dans tout le chapitre deux nombres réels a et b.
Pour rappel, la fonction exponentielle se note exp(a) ou ea.
Les propriétés de la fonction exponentielle sont les mêmes que celles des puissances.
L’exponentielle est strictement positive : ainsi, ea>0.
exp(0)=e0=1
exp(1)=e1=e≈2,718
Exponentielle d’une somme
exp(a+b)=exp(a)exp(b)
Ou encore : ea+b=ea×eb
Exemple :
e2×e4=e2+4=e6
e7×e−11=e7−11=e−4
Exponentielle d’une différence
exp(a)exp(−a)=exp(a–a)=exp(0)=1
exp(−a)=1exp(a)
exp(a–b)=exp(a)exp(b)
Démonstration
exp(a–b)=exp(a)exp(−b)
exp(a–b)=exp(a)×1exp(b)
exp(a–b)=exp(a)exp(b).
Exponentielle d’une puissance
Soit n un entier relatif,
exp(na)=(exp(a))n ou encore :
ena=(ea)n
Exemple
On souhaite simplifier l’expression de la fonction définie pour tout réel x par f(x)=exp(−3x)×exp(2x−1)(exp(x+2))2.
f(x)=exp(−3x)×exp(2x−1)(exp(x+2))2=exp(−3x+(2x–1))(exp(x+2))2=exp(−x–1)(exp(x+2))2=exp(−x–1)exp(2×(x+2)=exp(−x–1)exp(2x+4=exp(−x–1–(2x+4))=exp(−3x–5)
On peut aussi utiliser la notation ex.
f(x)=e−3x×e2x−1(ex+2)2=e−3x+(2x–1)(ex+2)2=e−x–1(ex+2)2=e−x–1e2×(x+2)=e−x–1e2x+4=e−x–1–(2x+4)=e−3x–5