Produit scalaire - Exercice 1
Produit scalaire - Exercice 1
Soient →u(12,34,0) et →v(23,−49,1).
→u et →v sont-ils orthogonaux ?
Étape 1 : On calcule le produit scalaire des deux vecteurs : →u.→v=xx′+yy′+zz′
Étape 2 : Le produit scalaire est nul, les deux vecteurs →u et →v sont orthogonaux.
Produit scalaire - Exercice 2
Soient →u(1,2,3) et →v(x,y,z).
Cherchons un vecteur →v orthogonal à →u.
À retenir : On sait que →u et →v sont orthogonaux si et seulement si →u.→v=0.
Étape 1 : On calcule le produit scalaire de →u et →v.
Étape 2 : On pose arbitrairement les valeurs de x et y.
Étape 3 : On en déduit la valeur de z.
Étape 4 : On en déduit les coordonnées d’un vecteur orthogonal à →u.
Produit scalaire, norme et distance
Produit scalaire, norme et distance
Définition :
Le produit scalaire de deux vecteurs →u et →v est un réel noté →u.→v vérifiant →u.→v=‖u‖×‖v‖×cos(→u.→v) si →u et →v non nuls (si l’un des vecteurs est le vecteur nul, le produit scalaire vaut 0).
On en déduit alors que →u.→u=‖u‖2
Formules de polarisation :
Ces formules permettent de calculer les produits scalaires sans utiliser le cosinus.
→u.→v=12(‖u+v‖2−‖u‖2–‖v‖2)
→u.→v=12(‖u‖2+‖v‖2–‖v−u‖2)
Preuve :
‖u+v‖2=(→u+→v).(→u+→v)=→u.→u+→u.→v+→v.→u+→v.→v=‖→u‖2+2→u.→v+‖→v‖2
On obtient enfin la formule de polarisation en isolant →u.→v dans l’équation précédente.
Dans cette démonstration, on a utilisé la propriété de symétrie du produit scalaire, c’est à dire que →u.→v=→v.→u.
On pourra essayer de démontrer la deuxième formule en développant cette fois-ci ‖v−u‖2.
Propriété :
Dans une base orthonormée, pour tous →u(xyz) et →v(x′y′z′),
→u.→v=xx′+yy′+zz′ et ‖u‖=√x2+y2+z2
Exemple :
Soient →u(1√30) et →v(−2−√31) deux vecteurs de l’espace,
Alors →u.→v=1×(−2)+√3×(−√3)+0×1=−2–3=−5 et ‖u‖=√12+√32+02=√1+3=2
Distance entre deux points, définition :
Soient A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) deux points de l’espace,
Alors la distance entre A et B vaut AB=√(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
Exemple
Soient A(3;−1;0) et B(0;2;−1) deux points de l’espace,
alors →AB(−33−1) et
AB=√(−3)2+32+12=√19
