Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

Introduction

A travers l’exemple suivant est introduite la notion de probabilité conditionnelle.

Un laboratoire pharmaceutique a réalise des tests sur 800 patients atteints d’une maladie. Certains suivent le traitement A, les autres le B. 

On regroupe les résultats de l’étude dans le tableau ci dessous. 

On choisit au hasard un patient et on considère trois événements.

$A$ : “le patient suit le traitement A”

$B$ : “le patient suit le traitement B”

$G$ : “le patient est guéri”

Le patient étant choisi au hasard, on peut appliquer les règles de l’équiprobabilité. 

La probabilité de l’événement $A$ est donc égale au rapport de l’effectif de $A$ par l’effectif total, c’est à dire $P(A) = \dfrac{455}{800} \approx 0,57$. 

De même, $P(B) = \dfrac{345}{800} \approx 0,43$. 

On calcule aussi la probabilité d’être guéri : $p(G) = \dfrac{674}{800} \approx 0,84$.

Enfin, la probabilité d’être guéri et de suivre le traitement A est :

$P(G \cap A) = \dfrac{383}{800} \approx 0,48$, où $383$ est lu à l’intersection de la colonne A et la ligne Guéris. 

On s’intéresse à présent à la probabilité que le patient ait pris le traitement A sachant qu’il est guéri.

Il faut alors comprendre que l’on change d’ensemble de référence.

On ne travaille plus sur l’ensemble des 800 patients : on sait qu’il est guéri et donc qu’il appartient à l’ensemble des 674 personnes guéries. 

En outre, on sait que parmi ces 674 personnes guéries, 383 ont pris le traitement A.

La probabilité d’avoir suivi le traitement A sachant que le patient est guéri se note $P_G(A)$ et correspond au rapport du nombre de patients guéris ayant suivi le traitement $A$ par le nombre total de personnes guéries, soit $P_G(A) = \dfrac{383}{674} \approx 0,57$. 

On peut alors remarquer que $\dfrac{P(G \cap A)}{P(G)} = \dfrac{\frac{383}{800}}{\frac{674}{800}} = \dfrac{383}{800} \times \dfrac{800}{674} = \dfrac{383}{674} = P_G(A)$. 

Il est aussi important de noter que l’ordre du conditionnement influe sur le résultat. 

Si on regarde la probabilité que le patient soit guéri sachant qu’il a suivi le traitement A, par le même raisonnement que précédemment, cela revient à calculer $P_A(G)$, soit le rapport du nombre de personnes ayant guéri et suivi le traitement A par le nombre total de personnes ayant suivi le traitement A :

$P_A(G) = \dfrac{383}{455} \approx 0,54$.

Le nouvel ensemble de référence est les 455 personnes ayant suivi le traitement A et parmi elles, 383 sont guéries. 

On peut alors remarquer que $P_A(G) \neq P_G(A)$ et que $\dfrac{P(G \cap A)}{P(A)} = P_A(G)$.