Primitives

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Les primitives
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Opérations sur les primitives
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Opérations sur les primitives - Exercice

Les primitives

Primitive d’une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

On dit qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x$ de $I$ , $F'(x) = f(x)$ .

Primitives usuelles

Opérations sur les primitives

Opérations élémentaires sur les primitives

Propriétés

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ réel.

Fonction	Une primitive	Conditions
$u’+v’$	$u+v$
$ku’$ (avec $k$ constante)	$ku$
$u’u^n$ avec $n$ appartient à $\mathbb{Z}$ et différent de $-1$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$u$ différent de $0$ sur $I$ si $u\leq 0$
$\dfrac{u’}{\sqrt u}$	2 $\sqrt u$	$u>0$ sur $I$
$\dfrac{v’}{v^2}$	$-\dfrac{1}{v}$	$v\neq 0$ sur $I$
$u’e^{u}$	$e^{u}$
$\dfrac{u’}{u}$	$\ln(u)$ $\ln(-u)$	$u>0$ sur $I$ $u<0$ sur $I$
$u'(v’\circ u)$	$v\circ u$

Exemples

1. Chercher une primitive sur $\mathbb{R}$ de : $f(x) = x e^{x^2+ 1}$

2. Chercher une primitive sur $\mathbb{R}$ de : $g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$ .

Correction

1. $f(x) = x e^{x^2+ 1}$

Etape 1 : On cherche les expressions de $u$ et $u’$ pour arriver à la forme $u’ e^u$ .

$u (x) = x^2+ 1$ et $u'(x)= 2x$

Etape 2 : On multiplie par $2$ et par $\dfrac{1}{2}$ pour faire apparaître le “ $2$ ” manquant.

$f(x)=\dfrac{1}{2} \times 2x e^{x^2+ 1}$

$f(x)=\dfrac{1}{2} u'(x) e^u(x)$

Etape 3 : On définit une primitive grâce au cours.

$F(x)= \dfrac{1}{2} e^{x^2+ 1}$

2. $g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$

Etape 1 : On note $u(x)= x^2 + x + 1$ et $u'(x)=2x+1$ . On factorise par $3$ le numérateur pour faire apparaître $u'(x)$ .

On a : $g(x) = \dfrac{3(2x + 1)}{x^2 + x + 1}$ .

Soit : $g(x) = \dfrac{3u'(x)}{u(x)}$ .

Etape 2 : On remarque que $x^2+x+1>0$ sur $\mathbb{R}$ et on définit une primitive de $g$ grâce au cours.

$G(x) = 3\ln (x^2 + x + 1)+ c$

Opérations sur les primitives - Exercice

Cherchons une primitive de : $f(x) = \frac{ln x}{x}$ pour $x \in ]0 ; +\infty [$

Étape 1 : On découpe l’expression en deux parties que l’on reconnaît comme $u$ et sa dérivée.
Étape 2 : On trouve une primitive grâce au tableau des opérations sur les primitives.

Cherchons une primitive de : $g(x) = \frac{2}{3} x\sqrt{x}$ pour $x \in ]0 ; +\infty[$

Étape 1 : On utilise le fait que $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
Étape 2 : On regroupe les termes de $x$ .
Étape 3 : On connaît une primitive de $x^n$ .