Multiplications et divisions de fractions

Multiplication et division de fractions

Multiplication et division de fractions

I) Produit

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. 

Exemples : 

a) Calculer $\dfrac{5}{7} \times \dfrac{2}{3}$.

Pour cela, on multiplie $5$ et $2$ ensemble et l’on écrit le résultat au numérateur, puis on multiplie $7$ et $3$ ensemble en écrivant ensuite le résultat au dénominateur.

$\dfrac{5}{7} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5 \times 2}{7 \times 3} = \dfrac{10}{31}$.

b) Calculer $\dfrac{5}{4} \times \dfrac{3}{2}$.

On applique la même méthode que précédemment.

$\dfrac{5}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{5 \times 3}{4 \times 2} = \dfrac{15}{8}$. 

Les résultats finaux doivent toujours être simplifiés. Il est possible de simplifier une fois tous les calculs effectués mais simplifier avant d’effectuer les produits permet de faciliter les calculs. 

c) Calculer $\dfrac{24}{16} \times \dfrac{12}{21}$.

En écrivant le produit des numérateurs et des dénominateurs, on cherche une décomposition pour simplifier la fraction avant calcul.

$\dfrac{24}{16} \times \dfrac{12}{21} = \dfrac{24 \times 12}{16 \times 21}$

$\dfrac{24}{16} \times \dfrac{12}{21} = \dfrac{(2 \times 3 \times 4) \times (3 \times 4)}{(4 \times 4) \times (7 \times 3)}$

On simplifie alors les facteurs communs aux numérateur et dénominateur.

$\dfrac{24}{16} \times \dfrac{12}{21} = \dfrac{2 \times 3}{7} = \dfrac{6}{7}$.

Enfin, on s’assure que le résultat final est irréductible.

II) Quotient 

L’inverse d’une fraction revient à échanger le numérateur et le dénominateur de cette dernière.

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. 

On appliquera ainsi la règle du produit pour effectuer la multiplication. 

Exemples d’inverses : 

L’inverse de $3$ est $\dfrac{1}{3}$ car $3 = \dfrac{3}{1}$. 

L’inverse de $\dfrac{4}{5}$est $\dfrac{5}{4}$. 

Exemples de divisions :

a) Calculer $\dfrac{5}{3} \div \dfrac{2}{7}$.

On conserve la première fraction que l’on multiplie par l’inverse de la seconde.

$\dfrac{5}{3} \div \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{7}{2}$.

On applique alors la règle du produit de deux fractions.

$\dfrac{5}{3} \div \dfrac{2}{7}= \dfrac{5 \times 7}{3\times 2} = \dfrac{35}{6}$.

b) Calculer $\dfrac{9}{32} \div \dfrac{21}{24}$.

On applique la même méthode, en vérifiant si il n’y pas de simplification possible avant le calcul final.

$\dfrac{9}{32} \div \dfrac{21}{24} = \dfrac{9}{32} \times \dfrac{24}{21}$

$\dfrac{9}{32} \div \dfrac{21}{24}= \dfrac{9\times 24}{32 \times 21}$

$\dfrac{9}{32} \div \dfrac{21}{24}= \dfrac{(3 \times 3) \times (2 \times 3 \times 2 \times 2)}{(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 7)}$

$\dfrac{9}{32} \div \dfrac{21}{24}= \dfrac{9}{28}$