Modules et arguments

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Crée ton compte

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Modules et arguments
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Modules et arguments- Exercice 1
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Modules et arguments- Exercice 2
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Propriétés des modules et arguments

Modules et arguments

Module et argument

Module

On considère un nombre complexe $z=a+ib$ et on note $M$ le point du plan complexe d’affixe $z$ .

On définit le module de $z$ (qu’on note $|z|$ ) par la distance du point $M$ au point d’origine $O$ .

On a alors la formule suivante :

$|z|=OM =\sqrt{a^2+b^2}$

Argument

On note $\overrightarrow{u}$ le vecteur directeur de norme $1$ de l’axe des réels.

On définit alors l’argument d’un nombre complexe $z=a+ib$ (affixe du point $M$ dans le plan complexe) l’angle formé par le vecteur $\overrightarrow{u}$ et le vecteur $\overrightarrow{OM}$ .

On écrit alors :

$\operatorname{arg} (z) = (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OM} ) ~ [2\pi]$

En notant $\theta = \operatorname{arg}(z)~ [2\pi]$ alors on a les égalités suivantes :

$\cos(\theta)=\dfrac{a}{|z|}$
$\sin(\theta)=\dfrac{b}{|z|}$

Illustration graphique

L’angle $\theta$ est ici un argument de $z$ : $\operatorname{arg}(z)=\theta ~ [2\pi]$ .

Exemple

Calculer le module et un argument de $z_1=1+i$ et $z_2=4-4i$ .

$z_1$ s’Ècrit : $z_1=a_1+ib_1$ avec $a_1=1$ et $b_1=1$ donc

$|z_1|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}= \sqrt2$ .

On note $\operatorname{arg}(z_1)=\theta_1 ~ [2\pi]$ .

On a :

$\cos(\theta_1)=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin(\theta_1)$

$\cos(\theta_1)= \dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

Conclusion : $\theta_1=\dfrac{\pi}{4}~ [2\pi]$ .

$z_2$ s’écrit : $z_2=a_2+ib_2$ avec $a_2=4$ et $b_2=-4$ donc

$|z_2|=\sqrt{a_2^2+b_2^2}=$

$|z_2|=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$ .

On note $\operatorname{arg}(z_2)=\theta_2 ~ [2\pi]$ .

On a :

$\cos(\theta_2)=\dfrac{4}{4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\sin(\theta_2)= \dfrac{-4}{4\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

Conclusion : $\theta_2=-\dfrac{\pi}{4}~ [2\pi]$ .

Modules et arguments- Exercice 1

Exercice

Soit $z = 3 – 3i\sqrt{3}$ . On cherche $\left| z \right|$ et $arg(z)$ .

Étape 1 : On calcule le module de $z,$ $\left| z \right|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Étape 2 : On calcule le cosinus et le sinus de l’argument de z.

Étape 3 : On s’aide d’un cercle trigonométrique pour retrouver la valeur de l’argument à partir de son cosinus et de son sinus.

Modules et arguments- Exercice 2

Exercice

Calculons le module et l’argument de $Z = (1 + i)^7$

Étape 1 : On pose $z = 1 + i$ pour calculer son module et son argument.

Étape 2 : On calcule le module de z, $\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}$ .

Étape 3 : On calcule le cosinus et le sinus de l’argument de z.

Étape 4 : On s’aide d’un cercle trigonométrique pour retrouver la valeur de l’argument à partir de son cosinus et de son sinus.

Étape 5 : D’après le cours, $\left| z^7 \right| = \left| z \right|^7$ .

Étape 6 : On utilise la formule du cours $arg(z^7) = 7 \times arg(z)$ .

Propriétés des modules et arguments

Module

Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes (avec $z’$ non nul).

On a les propriétés suivantes :

$\bullet$ $|z\times z’|=|z|\times |z’|$

$\bullet$ $|z^n|=|z|^n$ pour $n\in \mathbb{N}$

$\bullet$ $\left| \dfrac{z}{z’}\right| = \dfrac{|z|}{|z’|}$ si $z’\neq 0$

$\bullet$ $|z+z’| \leqslant |z|+|z’|$

Argument

Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes (avec $z’$ non nul).

On a les propriétés suivantes :

$\bullet$ $arg(z\times z’)=arg(z)+arg(z’) ~ [2\pi]$

$\bullet$ $arg(z^n)=n\times arg(z) ~ [2\pi]$ pour $n\in \mathbb{N}$

$\bullet$ $arg\bigg(\dfrac{z}{z’}\bigg) = arg(z)-arg(z’) ~ [2\pi]$

Exemple

Soient $a=1+i$ et $b=2i$ deux nombres complexes.

Calculer le module de $a^4$ ainsi qu’un argument de $\dfrac{a}{b}$ .

D’après les propriétés du module on a : $|a^4|=|a|^4$ donc on calcule $|a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ .

Finalement : $|a^4|=|a|^4=\sqrt2^4= 4$ .

D’après les propriétés des arguments, on a : $arg\left(\dfrac{a}{b} \right)= arg(a)-arg(b)~ [2\pi]$ .

Ici, on a : $a={\sqrt2}\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ donc $arg(a)=\dfrac{\pi}{4}~ [2\pi]$ .

De plus, comme $b$ est un imaginaire pur, $arg(b)=\dfrac{\pi}{2}~ [2\pi]$ .

On en déduit que $arg\left(\dfrac{a}{b} \right)=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}~ [2\pi]$ .

Finalement : $arg\left(\dfrac{a}{b} \right)= -\dfrac{\pi}{4} ~ [2\pi]$