Médiatrice d’un segment

Médiatrice d'un segment

Médiatrice d’un segment 

I) Définition 

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant en son milieu.

On considère le segment $[EF]$ et $G$ son milieu.

La droite $\Delta$ perpendiculaire à $[EF]$ passant par $G$  est donc la médiatrice de $[EF]$.

II) Propriétés

1) Si un point $M$ appartient à la médiatrice d’un segment, alors ce point $M$ est équidistant des extrémités de ce segment.

Exemple :

Soit $M$ un point de $\Delta$, alors $M$ est équidistant (à la même distance) des extrémités de $[EF]$, c’est à dire de $E$ et de $F$.

Cela revient donc à écrire que $ME = MF$. 

2) Si un point $M$ est équidistant des extrémités d’un segment, alors ce point $M$ appartient à la médiatrice de ce segment.

La deuxième propriété est la réciproque de la première. Cela signifie que l’on inverse le si et le alors de la propriété précédente. 

Exemple :

Soit $[AB]$ un segment et $C$ un point tel que le triangle $ABC$ soit isocèle en $C$.

Cela signifie que $CA = CB$.

Ainsi, le point $C$ est équidistant de $A$ et $B$ ou encore $C$ est équidistant des extrémités du segment $[AB]$.

Donc, $C$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$. 

III) Construction au compas

On souhaite désormais construire la médiatrice du segment $[IJ]$.

On utilise uniquement le compas et la règle non graduée en utilisant les propriétés précédentes.

Pour se faire, on trace un point $A$ équidistant des extrémités du segment puis un deuxième $B$. Ces deux points appartiennent donc à la médiatrice du segment. En les reliant, on obtient la médiatrice du segment $[IJ]$.

Elle passe donc par le milieu de $[IJ]$ et est perpendiculaire à ce dernier.