Lois de probabilités, espérance

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Espérance et écart-type
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Variable aléatoire

Espérance et écart-type

Définition :

Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité suivante :

Valeurs	$x_1$	$x_2$	…	$x_n$
Probabilités	$p_1$	$p_2$	…	$p_n$

Espérance de $X$ :

$E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + … + x_np_n$

Variance de $X$ :

$V(x) = p_1 \times [x_1 – E(X)]^2 + p_2 \times [x_2 – E(X)]^2 + … + p_n \times [x_n – E(X)]^2$

Ecart type de $X$ :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Exemple :

On considère la variable aléatoire $X$ représentant le gain d’un joueur (en €) et ayant comme loi de probabilité le tableau suivant:

Valeurs	4	1	-2
Probabilités	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

Calculons l’espérance de $X$ :

$E(X) = 4 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + (-2) \times \dfrac{1}{4} = 1$ .

Cela signifie qu’en moyenne, le joueur peut espérer gagner 1€ par partie en jouant de nombreuses fois.

Calculons la variance de $X$ :

$V(X) = \dfrac{1}{4} \times [4 – 1]^2 + \dfrac{1}{2} \times [1 – 1]^2 + \dfrac{1}{4} \times [-2 – 1]^2 = \dfrac{9}{2}$ .

Enfin, l’écart type vaut :

$\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{9}{2}} \approx 2,12$ .

L’écart type permet de mesurer l’écart à l’espérance des valeurs.

Propriétés :

Soient $X$ une variable aléatoire, $a$ et $b$ deux réels,

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$V(aX) = a^2 V(X)$ .

Variable aléatoire

Définition :

On appelle variable aléatoire toute grandeur numérique qui dépend des résultats d’une expérience aléatoire.

Soit $X$ une variable aléatoire prenant comme valeurs $x_1, x_2,…, x_n$ ,
La loi de probabilité de $X$ est la donnée de ce tableau:

Valeurs	$x_1$	$x_2$	…	$x_n$
Probabilités	$p(X=x_1)$	$p(X=x_2)$	…	$p(X=x_n)$

Ce tableau contient sur la première ligne toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire et sur la seconde les probabilités correspondantes.

La somme de toutes les probabilités vaut 1.

Exemple :

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée.

Les issues possibles, c’est à dire l’univers, sont $\Omega = \{PP, PF, FP, FF\}$ .

Chacune de ces issues possède une probabilité de réalisation de $\dfrac{1}{4}$ .

Selon le côté de la pièce, les gains varient:

+2€ si PILE apparait

-1€ si FACE apparait

On pose alors $X =$ le gain du joueur.

On cherche à établir la loi de probabilité de $X$ .

On commence donc par trouver toutes les valeurs possibles de $X$ :

$PP \to +2 +2 = +4$ €

$PF \to -1 + 2 = +1$ €

$FP \to +2 – 1 = +1$ €

$FF \to -1 – 1 = -2$ €

Ainsi les valeurs de $X$ sont $+4, +1, -2$ .

Calculons par exemple $p(X = 1)$ : il s’agit de la probabilité d’obtenir 1€.

Ainsi, $p(X = 1) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}$ .

La loi de probabilité de $X$ est donc :

Valeurs	$4$	$1$	$-2$
Probabilités	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$