Lois de probabilité continues, lois uniformes

Loi uniforme sur [a ; b]

Loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$

Définition

$X$, une variable aléatoire suit une loi uniforme sur $[a;b]$ si et seulement si la fonction de densité de probabilité est :

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{b-a}$.

On vérifie que  $\displaystyle \int \limits_a^{b}f(x)dx=1$.

Propriétés

Pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[a;b]$, on a:

$\displaystyle P(c\leqslant X \leqslant d)=\frac{d-c}{b-a}$.

Exemple

1) On choisit un nombre réel au hasard dans l’intervalle $[0 ;5]$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre choisi.

  a)Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 ?

  b)Compris entre $e$ et $\pi$ ? 

Correction

1 a) $X$ suit la loi uniforme sur $[0;5]$. La probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 est :

$P(X > 4) = P( 4 < X\leq 5)=\displaystyle\frac{5-4}{ 5-0}=\displaystyle\frac{1}{ 5}$ 

1 b) La probabilité que ce nombre soit compris entre $e$ et $\pi$ est :

$\displaystyle P(e \leqslant X \leqslant \pi) = \frac{\pi – e}{5-0} \approx 0, 085$

Espérance mathématique – Propriétés

Si $X$ suit une loi uniforme sur un intervalle $I = [a; b]$, alors son espérance mathématique vaut :

$\displaystyle E(X)=\int \limits_a^{b}tf(t)dt= \int \limits_a^{b}t\times \frac{1}{b-a}dt$

Soit après calcul :

$\displaystyle E(X)=\frac{a+b}{2}$.

Remarque :

Dans l’exercice précédent, on trouve : $E(X) =\displaystyle \frac{0+5}{2}= 2,5$.