Loi des grands nombres

Loi faible des grands nombres

Loi faible des grands nombres 

Propriété :

Soit $(X_1, X_2, …, X_n)$ un échantillon de variables aléatoires d’espérance $\mu$,

On pose $M_n = \dfrac{X_1+X_2+…+X_n}{n}$ la variable aléatoire moyenne de cet échantillon,

Pour tout réel strictement positif $\delta$,

$\lim \limits_{n \to +\infty} P(|M_n – \mu| \geq \delta) = 0$

soit $\lim \limits_{n \to +\infty} P(M_n \notin [\mu – \delta, \mu + \delta]) = 0$

ou encore

$\lim \limits_{n \to +\infty} P(M_n \in [\mu – \delta, \mu + \delta]) = 1$

(car $(M_n \in [\mu – \delta, \mu + \delta])$ est l’événement contraire de $(M_n \notin [\mu – \delta, \mu + \delta])$).

Plus la taille de l’échantillon est grande (et donc plus $n$ est grand), plus la probabilité que la moyenne empirique ne tende pas vers l’espérance de l’échantillon est faible.

Démonstration :

Soit $\delta > 0$,

D’après l’inégalité de concentration, $P(|M_n – \mu| > \delta ) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$.

Or $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{V}{n\delta^2} = 0$

En outre, une probabilité étant toujours positive, $P(|M_n – \mu| > \delta )  \geq 0$.

On vient donc de montrer que $P(|M_n – \mu| > \delta )$ est encadré par deux termes qui tendent vers $0$ lorsque $n$ tend vers l’infini.

D’après le théorème des gendarmes, on obtient finalement que $\lim \limits_{n \to +\infty} P(|M_n – \mu| \geq \delta) = 0$.

Exercice :

Soit $(X_1, …, X_n)$ un échantillon de variables aléatoires suivant la loi $\mathcal{B}(10, 0.09)$,

Que peut-on dire de $\lim \limits_{n \to + \infty} P(M_n \in [0.85, 0.95])$ ?

L’espérance d’une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ vaut

$\mu = n \times p = 0.09 \times 10 = 0.9$

De plus, $P(M_n \in [0.85, 0.95]) = P(M_n \in [0.90 – 0.05, 0.90 + 0.05])$.

On reconnaît alors $P(M_n \in [\mu – \delta, \mu + \delta])$, avec $\mu = 0.9$ et $\delta = 0.05$.

Donc d’après la loi faible des grands nombres

$\lim \limits_{n \to + \infty} P(M_n \in [0.85, 0.95]) = 1$