L’incontournable du chapitre

Suites arithmétiques - Définition

Suites arithmétiques

Définition 

Une suite arithmétique est une suite pour laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant le même nombre : la raison $r$.

Pour définir une suite arithmétique $(u_n)_{(n \in \mathbb{N})}$, il faut un premier terme, $u_0$ généralement, et la raison $r$ ($r \in \mathbb{R}$).

On écrit alors :  $\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n + r \\ u_0 \\ \end{array} \right.$

Exemple :

Considérons la suite $\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n – 7 \\ u_0 = 17 \\ \end{array} \right.$.

On obtient donc $u_1 = 17 – 7 = 10$ et $u_2 = 10 – 7 = 3$. 

Cette définition par récurrence ne permet cependant pas de trouver directement n’importe quel terme de la suite : il faut avoir calculé tous les termes précédents. 

Il existe néanmoins une formule générale, dite explicite, qui permet de calculer n’importe quel terme de la suite.

Propriétés

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ $u_n = u_0 + nr$.

En effet, pour passer de $u_0$ à $u_n$ il faut ajouter $n$ fois la raison.

Si le terme donné de la suite n’est pas $u_0$, la formule plus générale est la suivante :

pour tous $n, \ p \in \mathbb{N}, \ u_n = u_p + (n – p)r$.

En reprenant l’exemple précédent, on peut déterminer $u_7 = u_0 + 7 \times (-7) = -32$

Suites géométriques - Définition

Suites géométriques

1) Définition 

Une suite géométrique est une suite pour laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en étant multiplié par une constante $q$, la raison. 

Une suite géométrique est ainsi définie par

$\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n \times q \\ u_0 \\ \end{array} \right.$ où $q$ est la raison ($q \in \mathbb{R}$) et $u_0$ est le premier terme de la suite. 

Considérons une suite géométrique de raison $2$ de premier terme 5 qui s’écrit alors :

$\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n \times 2 \\ u_0=5 \\ \end{array} \right.$

Les premiers termes de la suite sont donc :

$u_1 = u_0 \times 2 = 5 \times 2 = 10$   et   

$u_2 = u_1 \times 2 = 10 \times 2 = 20$. 

Propriété : expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Néanmoins la définition d’une suite géométrique nécessite pour calculer un terme de la suite d’avoir au préalable calculé tous les termes précédents. 

Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on remarque qu’il a fallu multiplier $u_0$ $n$ fois par $q$ :

Ainsi : $u_n = u_0 \times q^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

La formule plus générale permet de calculer tous les termes si l’on ne connait pas le premier terme mais le $p^{\text{ème}}$ :

Pour tous $n, \ p \in \mathbb{N}, u_n = u_p \times q^{(n – p)}$.

En reprenant l’exemple précédent, on trouve $u_4 = u_0 \times q^4 = 5 \times 2^4 = 80$

Sommes de termes de suites arithmétiques et géométriques - Formules

Sommes de termes de suites arithmétiques et géométriques : formules

Sommes de termes de suites arithmétiques

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n + r \\ u_0 \end{array} \right.$ où $r$ est la raison ($r \in \mathbb{R}$). 

On souhaite calculer $S_n = u_0 + u_1 + \ … + \ u_n$. 

La formule pour calculer cette somme est la suivante : $S_n = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$.

Avant d’appliquer la formule, il faudra prêter une attention particulière au premier terme de la somme ($S_n$ doit commencer par $u_0$). 

Il est possible de retenir cette formule, sans toutefois l’écrire sur une copie, sous la forme :

$S_n = \dfrac{\text{(nombre de termes)(premier terme + dernier terme)}}{2}$

Sommes de termes de suites géométriques

Soit maintenant $(u_n)$ une suite géométrique définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n \times q \\ u_0 \end{array} \right.$ où $q$ est la raison ($q \in \mathbb{R}$). 

On souhaite calculer $S_n = u_0 + u_1 + \ … + \ u_n$. 

La formule pour calculer cette somme est la suivante : $S_n = \dfrac{u_0 \times \left(1 – q^{(n +1)} \right)}{1 – q}$ avec $q$ différent de 1.

Avant d’appliquer la formule, il faudra prêter une attention particulière au premier terme de la somme ($S_n$ doit commencer par $u_0$). 

Il est aussi possible de retenir cette formule, sans toutefois l’écrire sur une copie, sous la forme :

$S_n = \dfrac{\text{(premier terme)(1 – raison}^{\text{nombre de termes}} )}{1 -\text{raison}}$

Comment montrer qu'une suite est arithmétique ?

Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?

La seule méthode pour montrer qu’une suite $(u_n)$ est arithmétique consiste à étudier la différence entre le terme $(n + 1)^{\text{ème}}$ de la suite et le $n^{\text{ème}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ ou encore à étudier la différence : $u_{n + 1} – u_n$.

Si le résultat de cette différence est une constante, la suite est arithmétique, sinon elle ne l’est pas.

Considérons l’exemple suivant : $u_n = 3n – 8$ pour $n \in \mathbb{N}$.

On étudie donc :

$\begin{aligned}u_{n + 1} – u_n &=& 3(n + 1) – 8 – (3n – 8) \\ &=& 3n + 3 – 8  – 3n + 8 \\ &=& 3 \end{aligned}$ 

Ainsi, $u_{n + 1} – u_n = 3$, la différence est donc une constante donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 3\times 0 – 8 = -8$. 

Considérons à présent l’exemple suivant : $u_n = n^2 – 1$ pour $n \in \mathbb{N}$.

On étudie donc :

$\begin{aligned}u_{n + 1} – u_n &=& (n + 1)^2 – 1 – (n^2 – 1) \\ &=& n^2+2n+1-1-n^2+1 \\ &=& 2n+1 \end{aligned}$ 

Ainsi, $u_{n + 1} – u_n = 2n+1$, la différence n’est donc pas une constante puisque ce résultat dépend de $n$ donc $(u_n)$ n’est pas une suite arithmétique . 

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Comment montrer qu’une suite est géométrique ?

Afin de montrer qu’une suite $(u_n)$ est géométrique, on commence par calculer les premiers termes en s’assurant qu’ils ne sont pas nuls puis on calcule les rapports des premiers termes : $\dfrac{u_1}{u_0}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}$. 

Considérons par exemple la suite $u_n = 4 \times 3^n$. On a alors $\dfrac{u_1}{u_0} = 3$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = 3$.

Si il apparait que le rapport des premiers termes est une constante $q$: on émet alors une conjecture en supposant que la constante ainsi trouvée est la raison de la suite. 

Il faut alors montrer en revenant à la définition d’une suite géométrique que $u_{n + 1} = q \times u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

En revenant à notre exemple, on souhaite montrer que $u_{n + 1} = 3 u_n$.

Or :

$3 u_n = 3 \times ( 4 \times 3^n )$

$3 u_n= 4 \times 3^{n + 1}$

$3 u_n= u_{n + 1}$.

Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 4 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4$.