L’incontournable du chapitre

L'équation carré

L’équation carré

Définition

Une équation carré est une équation de la forme $x^2 = a$. 

Propriétés

Il existe trois cas possibles selon le signe de $a$.

1) $a$ négatif

Si $a$ est négatif, un carré ne pouvant être négatif, l’équation n’admet pas de solution.

2) $a$ nul

Si $a = 0$ alors $x^2 = 0$ . Or un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul : donc $x = 0$.

L’équation admet une unique solution $x = 0$.

3) $a$ positif strictement 

Les solutions de l’équation sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$. En effet, ${\left(-\sqrt{a}\right)}^2 = \sqrt{a}^2 = a$.

Il y a donc deux solutions.

Exemples :

Les solutions de l’équation $x^2 = 7$ sont $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$. 

L’équation $x^2$=-14 n’a pas de solution.

L'équation produit

L’équation produit

Définition

Une équation produit est une équation de la forme $a \times b = 0$ : un produit égal à $0$.

Propriété

Or un produit est nul lorsque, au moins, un de ses facteurs est nul.

Ainsi soit $a = 0$ soit $b = 0$ soit $a = b = 0$.  

Exemple : $(x + 1)(2x – 3) = 0$.

Il s’agit bien d’un produit, dont le premier facteur est $(x + 1)$ et le deuxième $(2x – 3)$. 

Or un produit est nul lorsque, au moins, un de ses facteurs est nul.

Cela signifie que $x + 1 = 0$ ou $2x – 3 = 0$.

Il faut donc résoudre deux équations.

Ainsi $x = – 1$ ou $2x = 3$ (en ajoutant 3 des deux côtés de l’égalité).

Donc $x = -1$ ou $x = \dfrac{3}{2}$ (en divisant par 2 des deux côtés de l’égalité).

Les solutions de cette équation sont donc $-1$ et $\dfrac{3}{2}$.  

Système de deux équations à deux inconnues

Système de deux équations à deux inconnues

Définition

Un système est représenté par une grande accolade marquant l’ensemble des deux équations avec deux inconnues, généralement $x$ et $y$. 

Ainsi, un exemple de système est

$\left \{ \begin{array}{rccc} x – y & = & – 7 & (1) \\ -2x + y & = & 4 & (2) \\ \end{array} \right.$ 

Pour différencier chacune des deux équations, on peut numéroter les équations. 

Solutions d’un système

Résoudre un système c’est trouver, s’il existe, un couple de nombres $(x; y)$ vérifiant les deux équations.

La solution sera donc un couple $(x; y)$ de deux nombres.

Ici, la solution est $(3; 10)$. 

En effet, en remplaçant $x$ par $3$ et $y$y par $10$, on obtient :

$x-y=3-10=-7$

La première équation est vérifiée.

$-2x+y=-2\times 3+10=-6+10=4$   

La deuxième équation est vérifiée.

On notera l’ensemble des solutions :

$S=\{(3;10)\}$

Il existe deux méthodes pour résoudre un système : la méthode par substitution et la méthode par combinaison. 

Système de deux équations à deux inconnues - Méthode par substitution

Système de deux équations à deux inconnues – Méthode par substitution

On cherche à résoudre le système suivant  $\left \{ \begin{array}{rccc} x + 2y & = & 13 & (1) \\ 2x – 3y & = & 12 & (2) \\ \end{array} \right.$ par la méthode de substitution. 

La première étape consiste à isoler dans une des deux équations une des deux inconnues. 

Ici, on choisit d’isoler $x$ dans la première équation car il n’y a pas de coefficient multiplicateur devant, permettant de l’isoler plus rapidement.

On soustraie donc des deux côtés de l’égalité de la première équation $2y$ :

$\left \{ \begin{array}{lccc} x & = & 13 – 2y & (1) \\ 2x – 3y & = & 12 & (2) \\ \end{array} \right.$

Il suffit maintenant de remplacer la valeur de l’inconnue isolée dans l’autre équation. 

$2 (13 – 2y) – 3y = 12$ : il s’agit ainsi d’une équation à une seule inconnue.

Après développement,

$26 – 4y – 3y = 12$ 

On regroupe ensuite les termes en $y$,

$26 – 7y = 12$

Puis on isole $y$ :

$26 -7y -26 = 12 – 26$

Ainsi $-7y = -14$.

Enfin en divisant par $-7$ des deux côtés de l’égalité on obtient

$y = \dfrac{-14}{-2}$, c’est à dire $y = 2$.

Il s’agit maintenant de déterminer la valeur de $x$. On remplace donc $y$ par sa valeur dans l’équation où $x$ est isolé :

$x = 13 – 2 \times 2$ c’est à dire $x = 9$.

Ainsi, l’unique solution du systèmes est le couple $(9; 2)$.  

Système de deux équations à deux inconnues - Méthode par combinaison

Système de deux équations à deux inconnues – Méthode par combinaison

La méthode par combinaison consiste à combiner les deux équations. 

On souhaite résoudre le système suivant : 

$\left \{ \begin{array}{cccc} 3x + y & = & 1 & (1) \\ 2x + 3y & = & -4 & (2) \\ \end{array} \right.$ 

La première étape consiste à faire apparaitre dans les deux équations le même coefficient multiplicatif devant $x$ ou $y$. 

Il suffit de multiplier la première équation par 3 pour obtenir $3y$ dans les deux équations.

$\left \{ \begin{array}{cccl} 9x + 3y & = & 3 & (1) \times 3 \\ 2x + 3y & = & -4 & (2) \\ \end{array} \right.$ 

La deuxième étape consiste à soustraire membre à membre des deux côtés de l’égalité. 

$(9x + 3y) – (2x + 3y)   =  3 – (-4)$

Ainsi, cela permet d’écrire une équation à une inconnue $x$ car les termes en $y$ se simplifient :

$9x – 2x + 3y – 3y = 7$.

$7x = 7$

Ainsi, après avoir divisé par 7 des deux côtés, $x =1$.

Puis on remplace dans une des deux équations de départ $x$ par sa valeur 1 pour trouver la valeur de $y$ :

$3 \times 1 + y = 1$

$3 + y = 1$

$3 + y – 3 = 1 – 3$

$y = -2$.

L’unique solution du sytème est donc $(1; -2)$.

On peut alors vérifier la solution :

$3 \times 1 + (-2) = 3 – 2 = 1$ et $2 \times 1 + 3 \times (-2) = 2 – 6 = -4$.