Factorisation
Factorisation
Factorisation
En utilisant ka+kb=k(a+b)
La première méthode pour factoriser consiste à appliquer la formule suivante :
ka+kb=k(a+b).
Elle repose sur la recherche et l’identification de facteur commun, qui doit être présente dans chaque terme de la somme.
Exemples :
Factoriser les expressions suivantes.
a) A=6x–18.
Le facteur commun est 6 ici.
En effet 18=3×6.
Ainsi,
A=6x–18=6x–6×3=6(x–3).
b) B=(x+1)2–(2x+7)(x+1).
Il faut ici se rappeler que
(x+1)2=(x+1)×(x+1).
Ainsi, le facteur commun est (x+1).
B=(x+1)×(x+1)–(2x+7)(x+1)
B=(x+1)[(x+1)–(2x+7)].
Il faut ensuite développer et réduire les termes dans le crochet, en veillant à ne pas se tromper sur les signes.
B=(x+1)[x+1–2x–7]
B=(x+1)(−x–6).
Factoriser avec les identités remarquables (programme de seconde)
La deuxième manière consiste à utiliser les identités remarquables.
Pour rappel, les identités remarquables sont :
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2–2ab+b2
(a+b)(a–b)=a2–b2
Exemple :
Factoriser l’expression 4x2+12x+9.
On remarque que seule la première égalité pourrait convenir.
On cherche à présent si elle convient réellement, en cherchant la valeur de a et de b.
On aurait 4x2=a2, c’est à dire a=2x.
De même, on aurait b2=9, c’est à dire b=3.
Il faut maintenant calculer 2ab=12x.
On peut donc appliquer la première égalité.
Ainsi 4x2+12x+9=(2x+3)2.
Double distributivité
Double distributivité
La formule de la double distributivité est la suivante :
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
Exemples :
a) Développer (x+2)(3x+4).
On applique la formule avec a=x,b=2,c=3x et d=4.
Ainsi,
(x+2)(3x+4)=x×3x+x×4+2×3x+2×4
(x+2)(3x+4)=3x2+4x+6x+8
La dernière étape du calcul consiste à regarder si il est possible d’effectuer une réduction, en regroupant les termes semblables.
Finalement,
(x+2)(3x+4)=3x2+10x+8.
b) Développer (5x–7)(6–2x).
L’astuce consiste à réécrire, lorsque l’on débute, le produit sous la forme
(5x–7)(6–2x)=(5x+(−7))(6+(−2x)).
Ainsi, on applique la formule avec a=5x,b=−7,c=6 et d=−2x.
On trouve alors que :
(5x–7)(6–2x)=(5x+(−7))(6+(−2x))
(5x–7)(6–2x)=30x–10x2+–42+14x
(5x–7)(6–2x)=−10x2+44x–42
c) Développer (1+y)(2y–3)
(1+y)(2y–3)=2y–3+2y2−3y
(1+y)(2y–3)=2y2–y−3.
Factoriser avec un facteur commun
Factoriser avec un facteur commun
Propriété
Pour tous nombres a,b et k, on a :
k×a+k×b=k(a+b)
On passe d’une somme à un produit : c’est la factorisation.
Pour factoriser une expression, il faut faire apparaître le facteur commun aux deux termes de la somme.
Exemples :
- Factoriser 6x+12
On remarque que 12=6×2, 6 est donc le facteur commun. Ainsi,
6x+12=6×x+6×2
6x+12=6(x+2).
En développant cette expression, on retrouve l’expression initiale.
- Factoriser 21–7x.
On remarque que 21 est un multiple de 7, donc 7 est le facteur commun.
21–7x=7×3–7×x
21–7x=7(3−x).
- Factoriser 3+3x.
Le facteur commun est 3. Il faut cependant faire apparaitre dans chacun des termes un produit faisant intervenir 3.
On se rappelle alors que 3=3×1. Ainsi,
$3 + 3x = 3\times 1 + 3 \times x
3+3x=3(1+x)
- Factoriser (3x+4)(x+2)+(x+2)(5x−2)
Le facteur commun est ici (x+2). Ainsi :
(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x−2)=(x+2)[(3x+4)+(5x−2)]
(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x−2)=(x+2)(3x+4+5x−2)
(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x−2)=(x+2)(8x+2)
