Produit scalaire dans l'espace
Produit scalaire dans l'espace
Produit scalaire dans l’espace
Rappel : Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs →u et →v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel λ tel que →u=λ→v.
Exemple :
Propriétés
Deux vecteurs →u et →v colinéaires et non nuls ont la même direction.
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs →AB et →AC sont colinéaires.
Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.
Exemple
Les vecteurs →u(2;3;1) et →v(−6;9;−3) sont colinéaires car →v=−3×→u.
Les vecteurs →u(2;−3;1) et →v(4;−6;−2) ne sont pas colinéaires car
2×2=4 ; 2×(−3)=−6 mais 2×1≠−2.
Produit scalaire, Définition
Dans l’espace, une unité de longueur étant choisie, on a pour tous vecteurs →u et →v:
→u.→v=12(||→u||2+||→v||2−||→u−→v||2).
Coordonnées
On considère les deux vecteurs →u(x;y;z) et →v(x′;y′;z′), le produit scalaire de →u et de →v est le réel :
→u.→v=xx′+yy′+zz′.
Théorème
Soient deux vecteurs →u et →v non nuls et trois points O, A et B tels que →u=→OA et →v=→OB.
Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
(OA) et (OB) sont perpendiculaires,
→u⋅→v=0
→u et →v sont orthogonaux : on notera →u⊥→v.
Exemple
On considère les vecteurs →u(1;3;1) et →v(4;1;−7).
Sont-ils orthogonaux ?
Correction
On calcule leur produit scalaire :
→u.→v=1×4+3×1+1×(−7)=0
→u et →v sont donc orthogonaux car leur produit scalaire est nul.
Équation paramétrique d'une droite
Système d’équations paramétriques d’une droite
Définition
Soit une droite D définie par un point A(xA;yA;zA) et un vecteur directeur →u(α;β;γ) non nul.
Un point M(x;y;z) appartient à D si et seulement si les vecteurs →AM et →u sont colinéaires.
C’est-à-dire s’il existe un réel k tel que →AM=k→u.
On traduit cette égalité par un système d’équations paramétriques de la droite D:
D{x−xA=kαy−yA=kβz−zA=kγ avec k∈R
Exemple
Soit Δ la droite passant par A et de vecteur directeur →u, avec →u(−2;−1;3) et A(3;4;−5).
Donner un système d’équations paramétriques de Δ
Correction
On définit un système d’équations paramétriques de Δ à partir des coordonnées du vecteur →u et du point A.
Δ{x−3=k(−2)y−4=−kz+5=3k avec k∈R
⟺ Δ{x=3−2ky=−k+4z=3k−5 avec k∈R
Équation cartésienne d'un plan
Equation cartésienne d’un plan
Définition
Soient a,b,c et d quatre réels avec a,b et c tous nuls.
P:ax+by+cz+d=0 est l’équation cartésienne d’un plan de l’espace.
Propriété
Tout plan P d’équation ax+by+cz+d=0 admet un vecteur normal non nul →n(a;b;c).
La réciproque est vraie.
Exemples
1) Déterminer l’équation cartésienne du plan P passant par A(4;0;−1) et normal à →n(2;−1;3).
2) Soit P:2x−4y+6z−9=0.
Déterminer un vecteur →n normal à P et un point A du plan
Correction
- 1) Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur →n.
On a: P:2x−y+3z+d=0.
- Etape 2 : On sait que A∈P, on remplace x,y et z par les coordonnées du point A appartenant au plan.
2(4)−0+3(−1)+d=0
- Etape 3 : On en déduit la valeur de d et ainsi l’équation cartésienne du plan P.
d=−5
On conclut que: P:2x−y+3z−5=0.
- 2) Etape 1 : On définit un vecteur →n normal à P à partir des coefficients de x,y et z de l’équation cartésienne.
→n(2;−4;6) ou encore →n′(1;−2;3) sont deux vecteurs normaux.
- Etape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point A appartienne au plan.
On pose : x=1 et y=2 , avec A∈P, on remplace : 2−8+6z−9=0. z=156=52
On a alors : A(1;2;52)
Distance d'un point à un plan / à une droite
Ces notions ne sont pas exigibles au programme :
– Soient le plan P d’équation ax+by+cz+d=0 et un point A(xA;yA;zA).
La distance du point au plan se calcule par :
D(A,P)=AH=|axA+byA+czA+d|√a2+b2+c2
– La distance du point A à une droite Δ est la distance AH telle que :
{H∈Δ→AH.→u=0
→u étant une vecteur directeur de la droiteΔ
Projection orthogonale
Projection orthogonale dans l’espace
Sur un plan : définition
Le projeté d’un point A sur un plan est le point H du plan tel que →AH est orthogonal au plan.
Sur une droite : définition
Le projeté orthogonal d’un point A sur une droite Δ est le point H vérifiant :
{H∈Δ→AH.→u=0
où →u est un vecteur directeur de la droite Δ.
