L’incontournable du chapitre

Propriétés de la fonction cosinus

Propriétés de la fonction Cosinus

On pose pour $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = \cos x$.

1) On a $\cos (x + 2\pi) = \cos x$

Soit $f(x + 2\pi) = f(x)$.

On dit que $f$ est $2\pi$ périodique.

Conséquence : On peut tracer la courbe uniquement sur un intervalle de longueur $2\pi$.

2) On a $\cos (-x) = \cos x$.

Soit $f(-x) = f(x)$.

La fonction est paire.

Conséquence : La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Étude de la fonction sinus

Etude de la fonction sinus

Domaine de définition et dérivée

La fonction sinus est définie sur $\mathbb{R}$.

Elle est impaire (pour tout $x\in\mathbb{R}, \sin(-x)=-\sin(x)$) et $2\pi$-périodique (pour tout $x\in\mathbb{R}, \sin(x+2\pi)=\sin(x)$) ce qui permet de restreindre son étude à $[0,\pi]$.

Son domaine de dérivabilité est $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}, \sin'(x)=\cos(x)$.

Variations sur $[0,\pi]$

Pour étudier les variations de la fonction sinus, on étudie le signe de sa dérivée c’est-à-dire le signe de $\cos(x)$ sur $[0,\pi]$.

Représentation graphique

Courbe représentative de la fonction sinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction :

Propriétés algébriques et autres formules

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)$ 

Pour tous $a,b$ réels, $\sin(a+b)=\cos(a)\sin(b)+\cos(b)\sin(a)$.

Formule d’Euler : $\sin(\theta)= \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

$\sin(-x)=-\sin(x)$

$\sin(x+\pi)= -\sin(x)$

$\sin(\frac{\pi}{2}-x)= \cos(x)$

Propriétés de la fonction sinus

Propriétés de la fonction Sinus

On pose, pour $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = \sin \ x$

1) On a $\sin (x+2 \pi) = \sin \ x$

Soit $f (x+2 \pi) = f (x)$

On dit que $f$ est $2\pi$ périodique.

Conséquence : On peut tracer la courbe uniquement sur un intervalle de longueur $2\pi$.

2) On a $\sin (-x) = \sin \ x$

Soit $f (-x) = -f (x)$

La fonction $f$ est impaire.

Conséquence : La courbe est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

Calculs de limites de fonctions trigonométriques

Calculs de limites de fonctions trigonométriques

Limites au voisinage de l’infini

Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en $+\infty$ ni en $-\infty$.

Cependant, on peut comparer leurs croissances aux puissances de $x$ :

$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{\cos(x)}{x^n}=0$ avec $n\in \mathbb{N}^\star$

$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{\sin(x)}{x^n}=0$ avec $n\in\mathbb{N}^\star$

Ces résultats s’obtiennent très facilement avec le théorème des gendarmes

Limite en $0$

En faisant apparaître un taux de variation, on montre que :

${\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1}$

Preuve :

$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0} =\sin'(0) = \cos(0) = 1$

Exemple

Calculer la limite en $0$ de la fonction $f(x)=\dfrac{\sin(4x)}{x}$.

Il s’agit ici de faire apparaître un taux de variation pour pouvoir calculer cette limite qui est une forme indéterminée du type : $\dfrac00$.

Pour cela, on écrit $f(x) = 4 \times \dfrac{\sin(4x)}{4x}$.

Or, on sait que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$ et si le nombre $x$ tend vers $0$ alors $4x$ tend aussi vers $0$.

Ainsi : $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(4x)}{4x}=1$.

En multipliant par la constante $4$, on en déduit finalement la limite de $f$ en $0$ :

${\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=4}$

Dérivation des fonctions trigonométriques

Dérivation de fonctions trigonométriques

Propriétés

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Pour tout $x\in \mathbb{R},$

$(\cos(ax+b))’=-a\sin(ax+b)$

$(\sin(ax+b))’=a\cos(ax+b)$

En particulier, pour $a=1$ et $b=0$,

Pour tout $x\in \mathbb{R},$

$(\cos(x))’=-\sin(x)$

$(\sin(x))’=\cos(x)$

Exemples

Dériver les fonctions suivantes en précisant leurs ensembles de dérivabilité :

1) $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ 

2) $g(x) = \dfrac{\sin(3-2x)}{2}$ sur $\mathbb{R}$

3) $k(x)= \sin(x)\cos(x)$ sur $\mathbb{R}$

Correction

1) $f$ est dérivable sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ avec $\cos(x)$ non nul sur cet intervalle.

On écrit $u(x)=\sin(x)$ et $v(x)=\cos(x)$ de sorte que $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$.

On a alors $u'(x)=\cos(x)$ et $v'(x)=-\sin(x)$  et pour tout $x\in \left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ : 

$f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

$f'(x)= \dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$

2) Pour $x\in\mathbb{R}$ :

$g'(x)  = -2\cos(3-2x)\times \dfrac12$

soit $g'(x)  = -\cos(3-2x)$

3) $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On écrit $u(x)=\cos(x)$ et $v(x)=\sin(x)$ de sorte que $k(x)=u(x)v(x)$

On a alors : $u'(x)=-\sin(x)$ et $v'(x)=\cos(x)$.

Ainsi, pour $x\in\mathbb{R}$ :

$k'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

$k'(x)=-\sin^2(x)+\cos^2(x)$

$k'(x)= 2\cos^2(x)-1$

$k'(x)=\cos(2x)$

Équations trigonométriques

Equations trigonométriques

Egalité de cosinus ou de sinus

Conditions d’égalité de deux cosinus :

$\cos(x)=\cos(a) \Leftrightarrow x=a+2k\pi \text{ ou } x=-a+2k\pi \text{ avec } k\in \mathbb{Z}$

Conditions d’égalité de deux sinus :

$\sin(x)=\sin(a) \Leftrightarrow x=a+2k\pi \text{ ou } x=(\pi-a)+2k\pi \text{ avec } k\in\mathbb{Z}$

Exemple

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\sin(3x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$

On a $\dfrac{\sqrt2}{2}=\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)$ d’après le cours, donc :

$\sin(3x)=\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow 3x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$     ou    $3x=\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)+2k\pi = \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$

C’est à dire :

$x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2k\pi}{3}$   ou   $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2k\pi}{3}$ avec $k\in\mathbb{Z}$