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L’incontournable du chapitre

Définition du logarithme népérien

Définition du logarithme népérien 

 

Définition

 

La fonction logarithme népérien est l’unique fonction f, définie et dérivable sur ]0;+[ qui vérifie f(1)=0f(x)=1x

On remarquera ici que l’on définit la fonction f à partir de sa dérivée.

En outre, on peut noter que l’on ne connaissait jusqu’à présent pas de fonction dont la dérivée valait 1x

En supposant que le cours portant sur les intégrales a déjà été étudié, on peut alors définir la fonction logarithme népérien, que l’on note ln comme étant la primitive de x1x sur ]0;+[ et qui s’annule en 1

Ainsi, pour tout réel x>0
lnx=x11tdt

On notera que lorsque x=1, ln1=111tdt=0

Graphiquement, la fonction lnx correspond à l’aire sous la courbe de la fonction inverse, comprise entre les droites verticales d’abscisse 1 et x.

 

Propriétés analytiques

 

Propriétés analytiques

 

La fonction ln est définie et dérivable sur ]0;+[.

Pour tout réel x>0,(lnx)=1x.

La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0;+[.

D’autre part,

ln(1)=0 

ln(e)=1

limx+lnx=+

limx0x>0lnx=

 

Variations et représentation graphique

 -31_1

 

-32_1

Théorème des croissances comparées

Théoréme des croissances comparées

 

Pour n appartenant à N :

1. limx0x>0xlnx=0    et    limx0x>0xnlnx=0.

2. limx+lnxx=0    et    limx+lnxxn=0.

 

Exemple

Calculer limx+x3lnx.

 

étape 1 : On repére une forme indéterminée du type et on factorise par x3.

limx+x3lnx=limx+x3(1lnxx3)

étape 2 : On utilise le théoréme des croissances comparées pour lever l’indétermination.

On sait que: limx+lnxx3=0.

Ainsi, le terme dans la parenthése tend vers 1 et par produit de limites, on obtient :

limx+x3(1lnxx3)=+

 

Nombre dérivé en 1

A savoir : limh0ln(1+h)h=1

 

Preuve :

On calcule limh0ln(1+h)h.

étape 1 : On réécrit la limite de manière à faire apparaître ln1 au numérateur et 1 au dénominateur.

On vérifie aisément que h=1+h1.

limh0ln(1+h)h=limh0ln(1+h)ln11+h1

étape 2 : On reconnaît la formule du nombre dérivé de la fonction ln en 1.

La fonction ln a pour dérivée la fonction 1x qui prend donc la valeur 1 lorsque x=1.

Conclusion : limh0ln(1+h)ln1(1+h)1=limh0ln(1+h)h=1.

Propriétés algébriques

La fonction logarithme népérien

 

Définition

 

La fonction logarithme népérien est la fonction f définie et dérivable sur ]0;+[ tel que

f(1)=0 et f(x)=1x

ln est la primitive de x1x sur ]0;+[ qui s’annule en 1.

 

Propriétés algébriques

Pour tous réels x>0 et y>0 :

ln(xy)=lnx+lny

ln(1x)=lnx

ln(xy)=lnxlny

ln(xn)=nlnx avec n ϵ Z

Exemple :

Réduire : A=ln83ln16  et  B= 4ln9+5ln27ln3.

étape 1: On réécrit l’expression A pour faire apparaître ln2.

A=ln233ln24

étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

ln(xn)=nlnx avec nZ.

A=3ln212ln2

A=9ln2

étape 3: On réécrit l’expression B pour faire apparaître ln3.

B= 4ln32+5ln33ln3

étape 4 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

ln(xn)=nlnx avec nZ.

B= 8ln3+15ln3ln3

On factorise par ln3 pour finir le calcul.

B= 23ln3ln3

B= 23

 

Autre exemple :

Simplifier : C= ln(x+3)+ln22ln(x+1) en précisant l’intervalle d’étude.

étape 1 : On précise l’ensemble de définition de l’expression.

x doit vérifier x+3>0 et x+1>0, c’est-à-dire :

x>3 et x>1.

La condition finale est donc: x>1.

étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

  • ln(xy)=lnx+lny,
  • ln(xy)=lnxlny
  • ln(xn)=nlnx avec nZ

Ainsi,

C= ln(2x+6)ln(x+1)2

C= ln2x+6(x+1)2

Équations, inéquations et logarithme népérien

Résolutions d’équations et inéquations avec la fonction ln

Liens avec la fonction exponentielle :

Pour tout réel x, ln(ex)=x.

Pour tout réel x>0, elnx=x.

 

Equations 

Pour tous réels x>0 et y>0,

lnx=lnyx=y.

Pour tout réel x>0 et tout réel a,

lnx=ax=ea.

 

Inéquations

Pour tous réels x>0 et y>0,

lnx<lnyx<y.

Pour tout réel x>0 et tout réel a,

lnx<ax<ea.

 

Exemple

Résoudre 3ln(x+1)3=0 en précisant l’ensemble d’étude.

 

étape 1 :

On n’oublie pas de préciser l’ensemble de définition sur lequel on travaille.

x doit vérifier : x+1>0 soit : x>1.

On cherche donc des solutions sur ]1;+[.

 

étape 2 :

On se ramène à une écriture du type : lnx=lny en utilisant lne=1.

3ln(x+1)=3

ln(x+1)=1

ln(x+1)=lne

 

étape 3 :

On sait que lnx=lnyx=y  Ainsi :

x+1=e

x=e1

 

étape 4 :

On conclut en donnant l’ensemble des solutions.

S={e1} 

 

Autre exemple

Résoudre  sur ]1;+[ :

ln(x+3)2ln(x+1)0

 

étape 1 :

On sait que lnxlnyxy donc on réécrit l’expression pour faire apparaître l’inéquation entre deux logarithmes.

ln(x+3)2ln(x+1) soit

ln(x+3)ln(x+1)2

 

étape 2 :

On applique les propriétés du logarithme sur les inéquations.

ln(x+3)ln(x+1)2(x+3)(x+1)2

x+3x2+2x+1

x2+x20

 

étape 3 :

On remarque que 1 est une solution évidente du trinôme où on calcule son discriminant et on trouve que 1 et 2 sont les racines de x2+x2.

 

étape 4 :

Pour déterminer le signe du trinôme, on utilise un tableau de signes uniquement sur l’ensemble de définition.

La racine x=2 n’apparait donc pas :

--31

étape 5 :

On fait attention à l’ensemble de définition de départ avant de conclure.

S=[1;+[

Fonctions composées - ln (u(x))

Fonctions composées ln(u(x))

Théorème

Soit la fonction f définie sur l’intervalle I par:

f(x)=ln(u(x))u est une fonction dérivable et strictement positive sur I,

alors f est dérivable sur I et f(x)=u(x)u(x).

Exemple

Déterminer l’ensemble de définition et la dérivée de la fonction f définie par : 

f(x)=ln(x2+x+1)

 

Le discriminant Δ=14=3 donc

x2+x+1>0.

La fonction est donc définie et dérivable sur R.

Pour tout xR, on a :

u(x)=x2+x+1 et u(x)=2x+1.

Alors : f(x)=2x+1x2+x+1.

Pour étudier les variations de cette fonction, on pourra juste étudier le signe de 2x+1

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