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L’incontournable du chapitre

Equations et nombres complexes

Résolution d’équations avec des nombres complexes

 

Equations du premier degré

Il y a deux formes d’équations du premier degré avec solutions complexes :

  az+b=0 avec a et b dans C, dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.

  az+bˉz+c=0 avec a, b et c dans C dont la résolution se fait en remplaçant z par sa forme algébrique : z=a+ib.

 

Exemple

Trouver la ou les solutions de l’équation (E):zˉz+i=0.

 

On pose z=a+ib la forme algébrique de z. On remplace cette forme algébrique de z dans l’équation (E) :

(a+ib)¯(a+ib)+i=0a+ib(aib)+i=02ib=ib=12

Ainsi, les solutions de (E) sont tous les nombres complexes s’écrivant :

z=a12i, avec a réel. 

 

Equations du second degré

La forme générale d’une équation du second degré est la suivante :

az2+bz+c=0 avec a, b et c réels.

La résolution de cette équation est semblable à celle d’une équation du second degré avec des réels, c’est-à-dire qu’il s’agit de calculer le discriminant de l’équation :

Δ=b24ac

Il y aura tout de même des solutions dans le cas du discriminant négatif :

Si Δ>0, les deux solutions réelles sont : z1=b+Δ2a et z2=bΔ2a.

Si Δ=0, la solution est z0=b2a.

Si Δ<0,les deux solutions complexes sont : z1=b+iΔ2a et z2=biΔ2a.

 

Exemple

Trouver les solutions de l’équation : (F):z2+4z+254=0.

On a Δ=1625=9<0 donc les deux solutions sont :

z1=4+3i2 et z2=43i2.

Modules et arguments

Module et argument

 

Module

On considère un nombre complexe z=a+ib et on note M le point du plan complexe d’affixe z.

 

On définit le module de z (qu’on note |z|) par la distance du point M au point d’origine O.

On a alors la formule suivante :

|z|=OM=a2+b2

 

Argument

On note u le vecteur directeur de norme 1 de l’axe des réels.

On définit alors l’argument d’un nombre complexe z=a+ib (affixe du point M dans le plan complexe) l’angle formé par le vecteur u et le vecteur OM.

 

On écrit alors :

arg(z)=(u,OM) [2π]

En notant θ=arg(z) [2π] alors on a les égalités suivantes :

  • cos(θ)=a|z|
  • sin(θ)=b|z|

 

Illustration graphique

 --36

 

L’angle θ est ici un argument de z : arg(z)=θ [2π].

 

Exemple

Calculer le module et un argument de z1=1+i et z2=44i.

z1 s’Ècrit : z1=a1+ib1 avec a1=1 et b1=1 donc

|z1|=a21+b21=2.

On note arg(z1)=θ1 [2π].

On a :

cos(θ1)=12=22 et sin(θ1)

cos(θ1)=12=22.

Conclusion : θ1=π4 [2π].

 

z2 s’écrit : z2=a2+ib2 avec a2=4 et b2=4 donc

|z2|=a22+b22=

|z2|=16+16=42.

On note arg(z2)=θ2 [2π].

On a :

  • cos(θ2)=442=22 
  • sin(θ2)=442=22.

Conclusion : θ2=π4 [2π].

Argument et angle formé par deux vecteurs

A savoir par coeur :

Soient A(zA),B(zB),C(zC),D(zD) quatre points d’un plan complexe.

arg(zDzCzBzA)=(AB;CD)[2π]

Ainsi arg(zDzCzBzA) est égal à l’angle formé entre les vecteurs AB et CD modulo 2π.

Caractérisation de nombres complexes

Caractérisations des nombres complexes

 

Réels et imaginaires purs

Soit z=a+ib un nombre complexe quelconque.

On dit que z est réel lorsque b=0 et que z est imaginaire pur lorsque a=0.

 

Exemple

  • 2i est imaginaire pur,
  • 3 est réel
  • 3+2i n’est ni réel, ni imaginaire pur.

 

Caractérisation avec les parties réelles et imaginaires

On constate simplement que si z est un nombre complexe non nul, zRIm(z)=0.

Autrement dit, z est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

De même, z est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : ziRRe(z)=0.

 

Caractérisation avec l’argument

Soit z un nombre complexe non nul.

  z est réel si et seulement si arg(z)=kπ avec kZ.

  z est imaginaire pur si et seulement si arg(z)=π2+kπ avec kZ.

 

Illustration graphique

 

--37

L’affixe du point M est un réel négatif, tandis que l’affixe du point N est imaginaire pur.

le point A a un affixe réel égal à 1.

Propriétés des modules et arguments

Propriétés des modules et arguments

 

Module

Soient z et z deux nombres complexes (avec z non nul).

On a les propriétés suivantes :

 

|z×z|=|z|×|z|

 

|zn|=|z|n pour nN

 

|zz|=|z||z| si z0

 

|z+z||z|+|z|

 

Argument

Soient z et z deux nombres complexes (avec z non nul).

On a les propriétés suivantes :

 

arg(z×z)=arg(z)+arg(z) [2π]

 

arg(zn)=n×arg(z) [2π] pour nN

 

arg(zz)=arg(z)arg(z) [2π]

 

Exemple

Soient a=1+i et b=2i deux nombres complexes.

Calculer le module de a4 ainsi qu’un argument de ab.

 

D’après les propriétés du module on a : |a4|=|a|4 donc on calcule |a|=12+12=2.

Finalement : |a4|=|a|4=24=4.

D’après les propriétés des arguments, on a : arg(ab)=arg(a)arg(b) [2π].

Ici, on a : a=2(22+i22) donc arg(a)=π4 [2π].

De plus, comme b est un imaginaire pur, arg(b)=π2 [2π].

On en déduit que arg(ab)=π4π2 [2π].

Finalement : arg(ab)=π4 [2π]

Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés

Propriétés des formes trigonométriques et exponentielles

 

Opérations sur l’exponentielle complexe

 

Module

Par définition, on a eiθ=cos(θ)+isin(θ) donc

|eiθ|=cos2(θ)+sin2(θ)=1

A retenir donc :Tout nombre complexe de la forme eiθ se situe sur le cercle de centre O et de rayon 1, c’est-à-dire que son module vaut 1.

  

Conjugué

Si z=eiθ alors on a ˉz=eiθ.

 

Périodicité et inverse

Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période 2π on a, pour tout kN :

ei(θ+2kπ)=eiθ

On a, en outre, l’égalité suivante :

1eiθ=eiθ.

 

 

Produit et quotient

Si θ et un réel et n un entier naturel, on a :

(eiθ)n=einθ.

De manière plus générale, si θ et θ sont des réels quelconques :

ei(θ+θ)=eiθ×eiθ.

Enfin, le quotient de deux exponentielles complexes donne le résultat suivant :

eiθeiθ=ei(θθ).

 

Exemple

On définit les deux nombres complexes a=1+i et b=2i.

Calculer la forme exponentielle de a puis de b et en déduire celle de a×b et celle de ˉab.

 

En utilisant les méthodes vues dans les vidéos précédentes, on trouve aisément : 

a=2eiπ4 et

b=2eiπ2.

On en déduit avec les formules de la notation exponentielle que:

ab=22ei(π2+π4)

ab=22ei3π4

 

De même, on a :

ˉa=2eiπ4 donc

ˉab=22ei(π4π2)

ˉab=22ei3π4.

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