Equations et nombres complexes
Résolution d’équations avec des nombres complexes
Equations du premier degré
Il y a deux formes d’équations du premier degré avec solutions complexes :
∙ az+b=0 avec a et b dans C, dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.
∙ az+bˉz+c=0 avec a, b et c dans C dont la résolution se fait en remplaçant z par sa forme algébrique : z=a+ib.
Exemple
Trouver la ou les solutions de l’équation (E):z−ˉz+i=0.
On pose z=a+ib la forme algébrique de z. On remplace cette forme algébrique de z dans l’équation (E) :
(a+ib)−¯(a+ib)+i=0⇔a+ib−(a−ib)+i=0⇔2ib=−i⇔b=−12
Ainsi, les solutions de (E) sont tous les nombres complexes s’écrivant :
z=a−12i, avec a réel.
Equations du second degré
La forme générale d’une équation du second degré est la suivante :
az2+bz+c=0 avec a, b et c réels.
La résolution de cette équation est semblable à celle d’une équation du second degré avec des réels, c’est-à-dire qu’il s’agit de calculer le discriminant de l’équation :
Δ=b2−4ac
Il y aura tout de même des solutions dans le cas du discriminant négatif :
∙ Si Δ>0, les deux solutions réelles sont : z1=−b+√Δ2a et z2=−b−√Δ2a.
∙ Si Δ=0, la solution est z0=−b2a.
∙ Si Δ<0,les deux solutions complexes sont : z1=−b+i√−Δ2a et z2=−b−i√−Δ2a.
Exemple
Trouver les solutions de l’équation : (F):z2+4z+254=0.
On a Δ=16−25=−9<0 donc les deux solutions sont :
z1=−4+3i2 et z2=−4−3i2.
Modules et arguments
Module et argument
Module
On considère un nombre complexe z=a+ib et on note M le point du plan complexe d’affixe z.
On définit le module de z (qu’on note |z|) par la distance du point M au point d’origine O.
On a alors la formule suivante :
|z|=OM=√a2+b2
Argument
On note →u le vecteur directeur de norme 1 de l’axe des réels.
On définit alors l’argument d’un nombre complexe z=a+ib (affixe du point M dans le plan complexe) l’angle formé par le vecteur →u et le vecteur →OM.
On écrit alors :
arg(z)=(→u,→OM) [2π]
En notant θ=arg(z) [2π] alors on a les égalités suivantes :
- cos(θ)=a|z|
- sin(θ)=b|z|
Illustration graphique
L’angle θ est ici un argument de z : arg(z)=θ [2π].
Exemple
Calculer le module et un argument de z1=1+i et z2=4−4i.
z1 s’Ècrit : z1=a1+ib1 avec a1=1 et b1=1 donc
|z1|=√a21+b21=√2.
On note arg(z1)=θ1 [2π].
On a :
cos(θ1)=1√2=√22 et sin(θ1)
cos(θ1)=1√2=√22.
Conclusion : θ1=π4 [2π].
z2 s’écrit : z2=a2+ib2 avec a2=4 et b2=−4 donc
|z2|=√a22+b22=
|z2|=√16+16=4√2.
On note arg(z2)=θ2 [2π].
On a :
- cos(θ2)=44√2=√22
- sin(θ2)=−44√2=−√22.
Conclusion : θ2=−π4 [2π].
Argument et angle formé par deux vecteurs
A savoir par coeur :
Soient A(zA),B(zB),C(zC),D(zD) quatre points d’un plan complexe.
arg(zD–zCzB–zA)=(→AB;→CD)[2π]
Ainsi arg(zD–zCzB–zA) est égal à l’angle formé entre les vecteurs →AB et →CD modulo 2π.
Caractérisation de nombres complexes
Caractérisations des nombres complexes
Réels et imaginaires purs
Soit z=a+ib un nombre complexe quelconque.
On dit que z est réel lorsque b=0 et que z est imaginaire pur lorsque a=0.
Exemple
- 2i est imaginaire pur,
- 3 est réel
- 3+2i n’est ni réel, ni imaginaire pur.
Caractérisation avec les parties réelles et imaginaires
On constate simplement que si z est un nombre complexe non nul, z∈R⇔Im(z)=0.
Autrement dit, z est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
De même, z est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : z∈iR⇔Re(z)=0.
Caractérisation avec l’argument
Soit z un nombre complexe non nul.
∙ z est réel si et seulement si arg(z)=kπ avec k∈Z.
∙ z est imaginaire pur si et seulement si arg(z)=π2+kπ avec k∈Z.
Illustration graphique
L’affixe du point M est un réel négatif, tandis que l’affixe du point N est imaginaire pur.
le point A a un affixe réel égal à 1.
Propriétés des modules et arguments
Propriétés des modules et arguments
Module
Soient z et z′ deux nombres complexes (avec z′ non nul).
On a les propriétés suivantes :
∙ |z×z′|=|z|×|z′|
∙ |zn|=|z|n pour n∈N
∙ |zz′|=|z||z′| si z′≠0
∙ |z+z′|⩽|z|+|z′|
Argument
Soient z et z′ deux nombres complexes (avec z′ non nul).
On a les propriétés suivantes :
∙ arg(z×z′)=arg(z)+arg(z′) [2π]
∙ arg(zn)=n×arg(z) [2π] pour n∈N
∙ arg(zz′)=arg(z)−arg(z′) [2π]
Exemple
Soient a=1+i et b=2i deux nombres complexes.
Calculer le module de a4 ainsi qu’un argument de ab.
D’après les propriétés du module on a : |a4|=|a|4 donc on calcule |a|=√12+12=√2.
Finalement : |a4|=|a|4=√24=4.
D’après les propriétés des arguments, on a : arg(ab)=arg(a)−arg(b) [2π].
Ici, on a : a=√2(√22+i√22) donc arg(a)=π4 [2π].
De plus, comme b est un imaginaire pur, arg(b)=π2 [2π].
On en déduit que arg(ab)=π4−π2 [2π].
Finalement : arg(ab)=−π4 [2π]
Forme trigonométrique et exponentielle - Propriétés
Propriétés des formes trigonométriques et exponentielles
Opérations sur l’exponentielle complexe
Module
Par définition, on a eiθ=cos(θ)+isin(θ) donc
|eiθ|=√cos2(θ)+sin2(θ)=1.
A retenir donc :Tout nombre complexe de la forme eiθ se situe sur le cercle de centre O et de rayon 1, c’est-à-dire que son module vaut 1.
Conjugué
Si z=eiθ alors on a ˉz=e−iθ.
Périodicité et inverse
Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période 2π on a, pour tout k∈N :
ei(θ+2kπ)=eiθ
On a, en outre, l’égalité suivante :
1eiθ=e−iθ.
Produit et quotient
Si θ et un réel et n un entier naturel, on a :
(eiθ)n=einθ.
De manière plus générale, si θ et θ′ sont des réels quelconques :
ei(θ+θ′)=eiθ×eiθ′.
Enfin, le quotient de deux exponentielles complexes donne le résultat suivant :
eiθeiθ′=ei(θ−θ′).
Exemple
On définit les deux nombres complexes a=1+i et b=2i.
Calculer la forme exponentielle de a puis de b et en déduire celle de a×b et celle de ˉab.
En utilisant les méthodes vues dans les vidéos précédentes, on trouve aisément :
a=√2eiπ4 et
b=2eiπ2.
On en déduit avec les formules de la notation exponentielle que:
a⋅b=2√2ei(π2+π4)
a⋅b=2√2ei3π4
De même, on a :
ˉa=√2e−iπ4 donc
ˉab=√22ei(−π4−π2)
ˉab=√22e−i3π4.