L’incontournable du chapitre

Fonction racine carrée

Fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est une fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et on la note $\left \{ \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R}^+ & \to & \mathbb{R}^+ \\ & & x & \mapsto & \sqrt{x} \end{array} \right.$ 

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe donc pas et le résultat est obligatoirement positif ou nul. 

Variations

La fonction est strictement croissante et son tableau de variations est le suivant :

La démonstration de la croissance de la fonction racine carrée est exigible. 

Soient $a$ et $b$ deux réels positifs tel que $a < b$,

On souhaite montrer que $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.

Pour cela, on étudie le signe de la différence $\sqrt{b} – \sqrt{a}$. 

On utilise donc l’expression conjuguée :

$\begin{align} \sqrt{b} – \sqrt{a} &=& \dfrac{(\sqrt{b} – \sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \\ &=& \dfrac{b – a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \end{align}$

Or $b > a$ donc $b – a > 0$. De plus, $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ est toujours positif.

Ainsi, $\dfrac{b – a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} > 0$ ce qui revient à dire que $\sqrt{b} – \sqrt{a}  > 0$ ou encore $\sqrt{b} > \sqrt{a}$. 

Représentation graphique

La position de la courbe représentation de la fonction racine carrée par rapport aux fonctions $y = x$ et $y = x^2$ est aussi à connaitre. 

On remarque dans un premier temps que les fonctions $y = x^2$ et $y = \sqrt{x}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$. 

Pour $0 \leq x \leq 1$, la fonction $y = \sqrt{x}$ est au dessus de la fonction $y = x$ elle même au dessus de la fonction $y = x^2$.

Pour $x \geq 1$, l’ordre est inversé. 

Les démonstrations de ces positions sont exigibles. 

Pour étudier la position, on étudie le signe de $f(x) – g(x)$ où $f$ et $g$ sont deux fonctions parmi les trois en utilisant la quantité conjuguée lorsque l’une des fonctions sera la fonction racine carrée. 

Etudions par exemple la position relative de $y = x$ par rapport à $y = \sqrt{x}$. On étudie alors le signe de $x – \sqrt{x}$:

Soit $x \in \mathbb{R}^+, \ x – \sqrt{x} \geq 0 \iff \dfrac{x^2 – x}{ x + \sqrt{x}} \iff x^2 – x \geq 0 \iff x(x – 1) \geq 0 \iff x – 1 \geq 0$ (car $x$ est toujours positif).

Ainsi, pour $x \geq 1$, la fonction $y = x$ est au dessus de la fonction racine carrée.

Pour $x \leq 1$, la fonction racine carrée est au dessus de la fonction $y = x$.