Limites et asymptotes

Asymptotes

Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$

alors $y = l$ est une asymptote de $C_f$ au voisinage de $+\infty$ .

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$

alors $x = a$ est une asymptote de $C_f$ au voisinage de $a$ .

Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) – (ax + b) = 0$

alors la droite d’équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $+\infty$ .

Soient

$f(x) = \frac{2}{x+3}$ et $\Delta : x = -3$

$g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} – 2$ et $\Delta’ : y = -2$

$h(x) = 2x – 7 + \frac{1}{x}$ et $\Delta” : y = 2x – 7$

Étudions le comportement de chaque courbe par rapport à $\Delta$ , $\Delta’$ et $\Delta”$ .

Ce qu’il faut savoir faire :

Étape 1 : Pour l’asymptote verticale, on calcule la limite quand $x$ tend vers $-3$ .
Étape 2 : Pour l’asymptote horizontale, on calcule la limite quand $x$ tend vers $+/- \infty$ . Elle doit être égale à $-2$ .
Étape 3 : Pour l’asymptote oblique, on calcule la limite en l’infini de la différence entre $h$ et $\triangle$ . Elle doit être égale à $0$ . (N’est plus au programme 2012-2013.)