Limites, dérivées

Fonctions composées - ln (u(x))

Fonctions composées $\ln(u(x))$

Théorème

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $I$ par:

$\displaystyle f(x) = \ln(u(x))$ où $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur $I$,

alors $f$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = \displaystyle\dfrac{u'(x)}{u(x)}.$

Exemple

Déterminer l’ensemble de définition et la dérivée de la fonction $f$ définie par : 

$\displaystyle f(x) = \ln(x^2+x+1)$

Le discriminant $\Delta = 1-4= -3$ donc

$x^2+x+1 > 0$.

La fonction est donc définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a :

$u(x)=x^2+x+1$ et $u'(x)=2x+1.$

Alors : $f'(x) = \displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}$.

Pour étudier les variations de cette fonction, on pourra juste étudier le signe de $2x+1$

Fonctions composées - ln - Exercice 1

Exercice

Soit $f(x) = ln(x^2 – 5x + 4) – ln(x – 5)$.

Cherchons l’ensemble de définition $D_f$ de la fonction.

Étape 1 : On cherche les valeurs de $x$ de sorte que les 2 expressions dans les logarithmes soient strictement positives.

Étape 2 : On regarde si on trouve une solution évidente : 1, -1, 2, -2, etc.

Étape 3 : On fait le tableau de signe du trinôme.

Fonctions composées - ln - Exercice 2

Étudions les variations de $f(x) = ln(x^2 + x + 1)$

Étape 1 : On cherche les valeurs de $x$ de sorte que l’expression dans le logarithme soit strictement positive.
Étape 2 : On calcule le discriminant du polynôme.
Étape 3 : On distingue les deux fonctions composées. On pourra ainsi calculer $u'(x)$.
Étape 4 : On dérive $f'(x)$ à partir de la formule de dérivé d’une fonction composée avec un logarithme népérien.
Étape 5 : On cherche le signe de la dérivée à partir de son numérateur pour définir le sens de variation de la fonction.