Limites de fonctions trigonométriques

Calculs de limites de fonctions trigonométriques

Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en $+\infty$ ni en $-\infty$.

Cependant, on peut comparer leurs croissances aux puissances de $x$ :

$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{\cos(x)}{x^n}=0$ avec $n\in \mathbb{N}^\star$

$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{\sin(x)}{x^n}=0$ avec $n\in\mathbb{N}^\star$

Ces résultats s’obtiennent très facilement avec le théorème des gendarmes

En faisant apparaître un taux de variation, on montre que :

${\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1}$

Preuve :

$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0} =\sin'(0) = \cos(0) = 1$

Exemple

Calculer la limite en $0$ de la fonction $f(x)=\dfrac{\sin(4x)}{x}$.

Il s’agit ici de faire apparaître un taux de variation pour pouvoir calculer cette limite qui est une forme indéterminée du type : $\dfrac00$.

Pour cela, on écrit $f(x) = 4 \times \dfrac{\sin(4x)}{4x}$.

Or, on sait que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$ et si le nombre $x$ tend vers $0$ alors $4x$ tend aussi vers $0$.

Ainsi : $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(4x)}{4x}=1$.

En multipliant par la constante $4$, on en déduit finalement la limite de $f$ en $0$ :

${\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=4}$

1) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{cos x}{x}$

$-1 \leq cos x \leq 1$

$\frac{-1}{x} \leq \frac{cos x}{x} \leq \frac{1}{x}$

$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{-1}{x} = 0$

$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$

$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{cos x}{x} = 0$

2) $\lim\limits_{x \to -\infty} x + cos x$

$-1 \leq cos x \leq 1$

$-1+x \leq cos x + x \leq 1 + x$

$\lim\limits_{x \to -\infty} 1+x = -\infty$

Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} cos x+x = -\infty$

Rappel :
Si une fonction $g$ est dérivable en $a$, alors $ \lim\limits_{x \to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} = g'(a)$