La suite géométrique : $U_n=e^{na}$

La suite $U_n = e^{na}$

La suite $U_n = e^{na}$ 

Introduction

Soit $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ la suite définie par :

Pour tout $n \in \mathbb{N}, U_n = e^{na}$ avec $a \in \mathbb{R}$. 

Si $a = 0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}, U_n = e^{0} = 1$.

Etude de la suite $U_n = e^{na}$

Conjecture :

On suppose donc dans la suite que $a \neq 0$.

On se demande tout d’abord si la suite est géométrique. 

On commence donc par calculer les premiers termes de la suite.

$U_0 = 1$  ;  $U_1 = e^{a}$  ;  $U_2 = e^{2a}$. 

Puis on calcule les rapports successifs :

$\dfrac{U_1}{U_0} = e^{a}$

$\dfrac{U_2}{U_1} =\dfrac{e^{2a}}{e^{a}} =  e^{2a – a}= e^{a}$

Ainsi, on peut émettre la conjecture que la suite semble géométrique de raison $e^{a}$. 

Nature de la suite :

Vérifions cette conjecture :

Soit $n \in \mathbb{N}$,

$U_{n + 1} = e^{(n + 1)a} = e^{na + a} = e^{na} \times e^a$.

Ainsi, on a $U_{n + 1} = e^a e^{na}$ pour tout tout $n \in \mathbb{N}$.

La suite $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ est donc une suite géométrique de raison $q = e^a$ et $U_0 = 1$.

Il est important de raisonner sur l’ensemble des termes de la suite et ne pas déduire la nature de la suite à partir des premiers termes. 

Forme explicite :

Comme $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ est une suite géométrique, on peut utiliser des propriétés du cours.

On peut d’abord donner sa forme explicite.

Pour tout $n \in \mathbb{N}, \ U_n = U_0 \times q^n = 1 \times (e^a)^n = e^{an}$. 

On retrouve alors la forme donnée par la définition de la suite.

Somme de termes :

On peut aussi calculer la somme des $n + 1$ premiers termes de la suite, donnée par la formule suivante:

$\begin{aligned} S &= &U_0 + U_1 + … + U_{n-1} + U_n \\ S &=& U_0 \times \dfrac{1 – q^{n+1}}{1-q}\\ \end{aligned}$, avec $q\neq 1$.

Ici, comme $a \neq 0$, on a alors $q = e^a \neq 1$, donc $S =  \dfrac{1 – (e^a)^{n+1}}{1-e^a} = \dfrac{1 – (e^{a(n+1)}}{1-e^a}$.

Variations :

On s’intéresse à présent aux variations de la suite $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$.

On cherche donc à déterminer si la suite est croissante ou décroissante.

Tout d’abord, on peut remarquer que $U_0 = 1 > 0$.

Si $a < 0$ alors $0 < q = e^a < 1$,

Ainsi comme la raison est inférieure à $1$, la suite $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ est décroissante. 

Si $a > 0$ alors $q = e^a > 1$,

Ainsi comme la raison est supérieure à $1$, la suite $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ est croissante.