La loi exponentielle

Loi exponentielle - Propriétés

Loi exponentielle – Propriétés

Propriétés

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.

Si $X\in [c;d]$, on a:

$\displaystyle P(c\leqslant X \leqslant d)= \int \limits_{c}^{d}\lambda e^{-\lambda t}dt= \left[-e^{-\lambda t}\right]_c^d =e^{-\lambda c}-e^{-\lambda d}$

Pour tout réel $a>0$ :

$\displaystyle P( X \leqslant a)= \int \limits_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda t}dt= 1 -e^{-\lambda a}$

Par l’événement contraire, on a:

$\displaystyle P( X \geqslant a)= 1-P(X\leqslant a) = e^{-\lambda a}$.

Espérance mathématique:   $\displaystyle E(X)=\frac{1}{\lambda}$

Théorème

Une loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement c’est-à-dire:

Pour tous $t>0$ et $h>0$, on a :

$\displaystyle P_{ X \geqslant t}( X \geqslant t+h) = P( X \geqslant h) = e^{-\lambda h}$

Exemple

La durée de vie, en année, d’un composant électronique est une variable aléatoire notée $T$ qui suit une loi de durée de vie sans vieillissement de paramètre $\lambda$.

Une étude statistique a montré que pour ce type de composant, la durée de vie ne dépasse pas 5 ans avec une probabilité de 0,675.

1) Calculer la valeur $\lambda$ arrondie à trois décimales.

2) Quelle est la probabilité, arrondie à trois décimales, qu’un composant de ce type dure :

    a) Moins de 8 ans ?

    b) Plus de 10 ans ?

    c) Au moins 8 ans sachant qu’il a déjà fonctionné trois ans ?

3) Quelle est l’espérance de vie de ce composant?

Correction

1) Comme $T$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, $T$ suit aussi une loi exponentielle.

Comme la durée de vie ne dépasse pas 5 ans avec une probabilité de 0,675, on a donc :

$P(T\leqslant 5)=0,675$

Or : $\displaystyle P(T \leqslant 5) = \int \limits_{0}^{5}\lambda e^{-\lambda t}dt=\left[-e^{-\lambda t}\right]_0^5= 1-e^{-5\lambda }$.

On en déduit : $\displaystyle 1-e^{-5\lambda } = 0, 675 \iff e^{-5\lambda }= 0, 325 \iff -5\lambda = \ln (0,325)$

On trouve finalement : $\displaystyle \lambda = -\frac{\ln (0,325)}{5} \approx 0, 225$ 

2) On a :

a)   $\displaystyle P(T < 8) = P(T \leqslant 8) = 1- e^{-0,225 \times 8} \approx 0,835$

b)   $\displaystyle P(T > 10) = P(T \geqslant 10) = e^{-0,225 \times 10} \approx 0,105$

c)   $\displaystyle P_{ T \geqslant 3}( T \geqslant 8) = P( T \geqslant 5) = e^{-0,225 \times 5} \approx 0,325$

3) $\displaystyle E(T)=\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0,225} \approx 4,44$

L’espérance de vie du composant est donc d’environ 4 ans et demi.