La loi binomiale

La loi binomiale

Loi binomiale

Les conditions de la loi binomiale :

On considère une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats :

• Le succès $S$ et
• l’échec $\overline{S}$ son événement contraire.

On pose :

$p=p(S)$

et $q=p(\overline{S}) =1-p(S)$ 

On répète $n$ fois l’expérience, les répétitions sont indépendantes.

Soit $X$ le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.

On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

On note cette loi $\mathcal{B}(n,p)$.

Exemple d’arbre pour $n=2$

La probabilité d’obtenir $k$ succès au cours des $n$ répétitions est donnée par la formule :

$p(X=k)= \displaystyle\binom{n}{k} p^k \times (1-p)^{n-k}$

Exemple

a) On lance 10 fois un dé bien équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers 

b) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?

a) D’après la calculatrice, on a :

$p(X=4)\approx 0,054$

b) Pour s’éviter de longs calculs, on va utiliser l’événement contraire :

$p(X\geqslant1)=1-p(\overline{X\geqslant1})$.

On peut voir ici que : 

$p(\overline{X\geqslant1})=p(X=0)$.

En effet, le contraire d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 est de ne pas l’obtenir du tout.

On applique la formule du cours pour calculer $p(X=0)$ car $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10, \dfrac{1}{6}\right)$.

On termine le calcul pour trouver $p(X\geqslant1)$. 

$p(X\geqslant1) \approx 0,838$ 

Espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi binomiale

Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors :

$E(X)=n \times p$.

Exemple

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10, \dfrac{1}{6}\right)$, alors son espérance vaut :

$E(X)=10 \times \dfrac{1}{6}$

$E(X)=\dfrac{5}{3}$