Intersection d’une parabole ou d’un cercle avec une droite

Intersection d'un cercle ou d'une parabole avec une droite parallèle à un axe

Déterminer les points d’intersections d’un cercle ou d’un parabole avec une droite parallèle à un axe

I) Points d’intersection d’une parabole $\mathcal{P}$ d’équation $p(x) = ax^2 + bx + c$ avec une droite $\mathcal{D}$

Remarque 1 : 

Un point $M(x, y)$ appartient à la parabole $\mathcal{P}$ si et seulement si $y = p(x)$, c’est à dire que $y$ est l’image de $x$ par la fonction $p$. 

Remarque 2 : 

Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a pour équation $x = k$, avec $k$ un réel.

Une droite parallèle à l’axe des abscisses a pour équation $y = k’$, avec $k’$ un réel.

a) Droite parallèle à l’axe des ordonnées d’équation $x= k$ 

Comme il ne correspond à chaque $x$ une et une seule image par la fonction $p$, il n’y a qu’un point d’intersection entre la droite et la parabole. 

Ce point d’intersection appartient à la fois à la droite et à la fois à la parabole, ses coordonnées vérifient donc les équations suivantes :

$\left \{ \begin{array}{l} x = k \\ y = p(x) = ax^2 + bx + c \end{array} \right.$

Comme on sait que $x = k$, il suffit de remplacer dans la deuxième équation $x$ par $k$.

Le point d’intersection $I$ a donc pour coordonnées $I(k; p(k))$. 

Exemple :

La parabole a pour équation $y = x^2 – 3x – 5$ et la droite $\mathcal{D}$ à pour équation $x = 4$. 

On calcule l’image par $p$ de $4$ : $p(4) = 4^2 – 3 \times 4 – 5 = -1$.

Ainsi, le point d’intersection $I$ à pour coordonnées $I(4; -1)$. 

b) Droite parallèle à l’axe des abscisses d’équation $y = k$

Le nombre de solutions varie. Il peut n’y avoir aucune solution si la droite ne coupe pas la parabole ($\mathcal{D}_3$), une solution si la droite est tangente à la parabole ($\mathcal{D}_2$) ou bien deux solutions si la droite coupe la parabole($\mathcal{D}_1$) . 

Les coordonnées des points d’intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ doivent vérifier 

$\left \{ \begin{array}{l} y = k \\ y = p(x) = ax^2 + bx + c \end{array} \right.$

On doit alors résoudre l’équation $ax^2 + bx + c = k$.

En réécrivant l’équation sous la forme $ax^2 + bx + c – k = 0$, on se ramène à une équation du second degré que l’on résout en appliquant la méthode habituelle.

On remarque alors que le polynôme n’admet pas toujours de solutions.

Exemple :

La parabole a pour équation $y = x^2 -3x – 5$ et la droite a pour équation $y = 4$. 

On doit donc résoudre l’équation $x^2 -3x – 5 = 4$ que l’on réécrit $x^2 – 3x – 9 = 0$. 

Le discriminant de l’équation vaut $\Delta = 3^2 + 4 \times 9 = 45$.

On trouve alors que l’équation admet deux solutions : $x_1 = \dfrac{3 – \sqrt{45}}{2}$ et $x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{45}}{2}$. 

On trouve donc deux points d’intersections $I_1$ et $I_2$ de coordonnées : $I_1(x_1; 4)$ et $I_2 (x_2; 4)$. 

II) Points d’intersection d’un cercle $\mathcal{C}$ avec une droite parallèle à un axe

Remarque :

Un point $M(x; y)$ appartient à une cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ si et seulement si $(x – x_{\Omega})^2 + (y – y_{\Omega})^2 = R^2$. 

a) Droite parallèle à l’axe des ordonnées d’équation $x= k$ 

La droite peut ne pas couper le cercle, être tangente en un point avec ce dernier ou le couper en deux points. 

Les coordonnées des points d’intersection de $\mathcal{C}$ avec $\mathcal{D}$ vérifient 

$\left \{ \begin{array}{l} x = k \\ (x – x_{\Omega})^2 + (y – y_{\Omega})^2 = R^2\end{array} \right.$

Il faut donc résoudre l’équation en $y$ : $(k – x_{\omega})^2 + (y – y_{\omega})^2 = R^2$.

On retrouve alors le fait qu’il peut y avoir 0, 1 ou 2 solutions et donc zéro, un ou deux points d’intersections entre $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.

Exemple :

On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(5; 4)$ et de rayon $R = \sqrt{8}$. 

Son équation est donc $(x – 5)^2 + (y – 4)^2 = 8$. $\mathcal{D}$ a pour équation $x = 4$. 

On doit alors résoudre l’équation $(4 – 5)^2 + (y – 4)^2 = 8$ que l’on réécrit sous la forme

$(-1)^2 + y^2 -8y + 16 – 8 = 0$ ce qui revient à résoudre l’équation $y^2 – 8y + 9 = 0$.

Le discriminant de cette équation vaut $\Delta = 28 > 0$.

Cette équation admet donc deux solutions $y_1 = \dfrac{8 – \sqrt{28}}{2}$ et $y_2 = \dfrac{8 + \sqrt{28}}{2}$. 

Les points d’intersections sont donc $I_1(4; y_1)$ et $I_2(4; y_2)$. 

a) Droite parallèle à l’axe des ordonnées d’équation $y= k$ 

La droite peut ne pas couper le cercle, être tangente en un point avec ce dernier ou le couper en deux points. 

Les coordonnées des points d’intersection de $\mathcal{C}$ avec $\mathcal{D}$ vérifient :

$\left \{ \begin{array}{l} y = k \\ (x – x_{\Omega})^2 + (y – y_{\Omega})^2 = R^2\end{array} \right.$

Il faut donc résoudre l’équation en $x$ : $(x – x_{\Omega})^2 + (k – y_{\Omega})^2 = R^2$. 

On retrouve alors le fait qu’il peut y avoir 0, 1 ou 2 solutions et donc zéro, un ou deux points d’intersections entre $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.

Exemple :

On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(5; 4)$ et de rayon $R = \sqrt{8}$. 

Son équation est donc $(x – 5)^2 + (y – 4)^2 = 8$. 

$\mathcal{D}$ a pour équation $y = 4$. 

On doit alors résoudre l’équation $(x – 5)^2 + (4 – 4)^2 = 8$ que l’on réécrit sous la forme :

$x^2 – 10y + 25 – 8 = 0$ ce qui revient à résoudre l’équation $x^2 – 10y + 17 = 0$.

Le discriminant de cette équation vaut $\Delta = 32 > 0$.

Cette équation admet donc deux solutions $x_1 = \dfrac{10 – \sqrt{32}}{2}$ et $x_2 = \dfrac{10 + \sqrt{32}}{2}$. 

Les points d’intersections sont donc $I_1(x_1; 4)$ et $I_2(x_2; 4)$.