Intégrale d’une fonction continue

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Définition de l'intégrale
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Définition de l'intégrale - Exercice
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Propriétés de l'intégrale
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Propriétés de l'intégrale - Exercice

Définition de l'intégrale

Définition de l’intégrale

Définition

Soit (O, $\overrightarrow {i}$ , $\overrightarrow {j}$ ) un repère orthonormé et une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a,b]$ .

$\mathcal{D}$ est le domaine du plan délimité par $x$ = $a$ , $x$ = $b$ , l’axe des abscisses et $\mathcal{C}_f$ , la courbe représentative de la fonction $f$ .

L’intégrale de $f$ sur $[a,b]$ notée $\displaystyle \int \limits_a^b f (t)dt$ est l’aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ exprimée en unités d’aire.

Exemple

Calculer $I = \displaystyle \int_{1}^4 x dx = \int_{1}^4 t dt$ ( $x$ et $t$ sont des variables muettes).

Etape 1 : On repère l’aire recherchée.

Etape 2 : On remarque qu’il s’agit d’un trapèze rectangle.

Etape 3 : La formule du calcul d’aire du trapèze rectangle est connue. On peut l’utiliser pour calculer l’intégrale :

$A = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$

$A = \dfrac{5 \times 3}{2}$

Finalement, $I = \dfrac{15}{2}$ (exprimée en unité d’aire)

Cas d’une fonction non positive

Le signe d’une aire est toujours positif en revanche celui d’une intégrale va dépendre de la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Ainsi, on pourrait avoir $I$ :

$I= \displaystyle \int \limits_a^b f (t)dt=- \mathcal {A}_1+ \mathcal {A}_2-\mathcal {A}_3+\mathcal {A}_4$

Les $\mathcal A_{i}$ sont les aires respectives des quatre domaines representés sur le graphique.

Exemple

Voici comment représenter: $\displaystyle \int \limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx$

$I = \displaystyle \int \limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx =- \mathcal {A}_1+ \mathcal {A}_2$

Définition de l'intégrale - Exercice

Calculons $I = \int_{1}^4 x dx = \int_{1}^4 t dt$ .

Étape 1 : On repère l’aire recherchée.
Étape 2 : On remarque qu’il s’agit d’un trapèze rectangle.
Étape 3 : La formule du calcul d’aire du trapèze rectangle est connue. On peut l’utiliser pour calculer l’intégrale :
$A = \frac{(B + b) \times h}{2}$ .

Propriétés de l'intégrale

Propriétés de l’intégrale

Linéarité de l’intégrale

Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ ( $\lambda$ est une constante), $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ , on a :

$\displaystyle\int_{a}^b \lambda f(x) + g(x)dx =\lambda \int_{a}^b f(x)dx+\int_{a}^b g(x)dx$

Positivité de l’intégrale

Si $f(x)\ge 0$ sur $[a;b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)dx\ge 0$ .

Croissance de l’intégrale

Si $f(x)\le g(x)$ sur $[a;b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)dx\le \int_{a}^b g (x)dx$ .

Exemple

Écrire sous la forme d’une seule intégrale $J$ = $\displaystyle\int_{1}^e e^{4x} dx+ \int_{1}^e dx-2\int_{1}^e e^{2x}dx$ .

On utilise la linéarité de l’intégrale pour regrouper les différents termes.

$J=\displaystyle\int_{1}^e (e^{4x} -2 e^{2x}+1)dx)$

$J=\displaystyle\int_{1}^e (e^{2x} -1)^2 dx)$

Propriétés de l'intégrale - Exercice

Linéarisons $I = \displaystyle\int_{0}^2 (4x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 1) dt$ .

Étape 1 : On utilise la linéarité de l’intégrale pour la décomposer.

Écrire sous la forme d’une seule intégrale $J = \displaystyle\int_{1}^e e^{4x} dx + \int_{1}^e dx – 2\int_{1}^e e^{2x} dx$ .

Étape 1 : On utilise la linéarité de l’intégrale pour regrouper les différents termes.