Inéquations du premier degré

Les inéquations du premier degré

Les inéquations du premier degré

Définition

Résoudre une inéquation d’inconnue $x$ , c’est chercher, si elles existent, l’ensemble des valeurs qui vérifient l’inégalité proposée. 

Cet ensemble de nombres s’appelle l’ensemble des solutions.

Exemple : 

Considérons l’inéquation : $3x-4<7$

Le nombre $0$ est une des solutions car $3\times 0-4=-4$ et $-4<7$

Le nombre $10$ n’est pas une des solutions car $3\times 10-4=26$ et $26>7$

Résolutions d’inéquations

Lorsque l’on résout une inéquation, il faut chercher toutes les valeurs de $x$ vérifiant l’inégalité. 

Considérons l’inéquation $3x + 1 > 4x – 3$.

Il faut donc regrouper les termes identiques, généralement on a tendance à regrouper les termes en $x$ du côté gauche.

$3x – 4x > -3 – 1$

$-x > – 4$

Il faut enfin multiplier par $-1$ des deux côtés pour trouver la solution portant sur $x$ : il faut donc prêter attention à changer le sens de l’inégalité car on a multiplié par un nombre négatif.

Ainsi $x < 4$. 

L’astuce pour éviter d’oublier de changer le sens est dès le départ, de regarder de quel côté le terme multiplicateur devant $x$ est le plus grand : cela sera de ce côté là que l’on regroupera les $x$. 

Ainsi pour résoudre  $3x + 1 > 4x – 3$ on préférera écrire $1 + 3 > 4x – 3x$ c’est à dire $4 > x$.

Considérons de même l’inéquation

$5 \left ( \dfrac{x}{2} + 1 \right ) – 1 \geq 2x – \left ( \dfrac{5}{4} – x \right )$.

On commence alors par développer pour écrire l’inéquation sans parenthèses.

$\dfrac{5x}{2} + 5 – 1 \geq 2x – \dfrac{5}{4} + x$

$\dfrac{5x}{2} + 4 \geq 3x – \dfrac{5}{4}$

On regroupe les termes en $x$ à droite, car $3 \geq \dfrac{5}{2}$. 

Ainsi, $4 + \dfrac{5}{4} \geq 3x – \dfrac{5x}{2}$

Après réduction sur le même dénominateur on trouve $\dfrac{21}{4} \geq \dfrac{1}{2}x$

Enfin on multiplie par $2$ des deux côtés pour obtenir la solution selon $x$ :

$\dfrac{21}{2} \geq x$ ou encore $x\leq \dfrac{21}{2}$

Les solutions sont donc toutes les valeurs inférieures ou égales à $\dfrac{21}{2}$.