Inéquations du premier degré

Inéquation du 1er degré

Inéquation du 1er degré  

I) Résolution d’une inéquation du 1er degré  

Résoudre une inéquation revient à trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles l’inégalité est vérifiée. 

Règle 1 :

On ne change pas le sens de l’inégalité en additionnant ou en soustrayant un même nombre à ses deux membres.

Règle 2:

On ne change pas le sens de l’inégalité en multipliant ou en divisant par un même nombre strictement positif ses deux membres. 

Règle 3:

On change le sens de l’inégalité en multipliant ou en divisant par un même nombre strictement négatif ses deux membres. 

Exemple :

On souhaite résoudre l’inéquation $7x – 3 > 2x – 1$

On souhaite regrouper les $x$ du même côté de l’inégalité.

Pour cela, on soustrait $2x$ des deux côtés de l’inégalité.

$7x – 2x – 3> 2x – 2x – 1$

$5x – 3>- 1$

On regroupe ensuite les nombres de l’autre côté de l’inégalité.

$5x -3 + 3 > – 1 + 3$

$5x > 2$.

Pour isoler $x$, on divise enfin par $5$. On ne change pas le sens de l’inégalité car $5 > 0$.

$\dfrac{5x}{5} > \dfrac{2}{5}$

$x > \dfrac{2}{5}$

Les solutions de cette inéquations sont les nombres strictement supérieurs à $\dfrac{2}{5}$. 

On peut représenter l’ensemble de ces solutions par une droite graduée. On indique par un crochet ouvert que l’on ne veut pas le nombre $\dfrac{2}{5}$ car il s’agit d’une inégalité stricte. 

II) Résolution d’un problème 

La méthode utilisée ici est la même que pour la résolution d’un problème faisant intervenir une équation du premier degré : il y a quatre étapes.

On considère le problème suivant pour appliquer la méthode. 

Pour quelles valeurs de $x$ le périmètre du rectangle $A$ est supérieur à celui de $B$ ? 

1) Recherche de l’inconnue 

L’inconnue est généralement donnée dans l’énoncé du problème.

Ici, l’inconnue est $x$, la largueur du rectangle $B$. 

2) Mise du problème en équation 

L’énoncé évoque les périmètres des rectangles $A$ et $B$. 

Il s’agit donc d’abord de calculer ces périmètre. 

Le périmètre du rectangle $A$ vaut $2\times (8 + (10 – x)) = 36 – 2x$. 

Le périmètre du rectangle $B$ vaut $2\times (-x + 18) = 2x + 34$.

Or, on cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles le périmètre de $A$ est supérieur à celui de $B$, c’est à dire on veut résoudre l’inéquation

$36 – 2x > 2x + 34$.

3) Résolution de l’inéquation 

On résout l’inéquation $36 – 2x > 2x + 34$

$36 – 2x + 2x > 2x + 2x + 34$

$36 > 4x + 34$

$36 – 34 > 4x + 34 – 34$

$2 > 4x$

$\dfrac{2}{4}> \dfrac{4x}{4}$, on ne change pas le sens de l’inégalité car $4>0$.

Ainsi, $0,5 > x$. 

Les solutions sont donc les nombres strictement inférieurs à $0,5$.