Image d’une suite convergente par une fonction continue

Image d'une suite convergente par une fonction continue

Image d’une suite convergente par une fonction continue

Théorème :

Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans un intervalle $[a,b]$ et $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b]$.

Si $(u_n)$ converge vers $l\in[a,b]$ alors la suite de terme général $f(u_n)$ converge vers $f(l)$.

Si $u_n \rightarrow l$ alors

$f(u_n) \rightarrow f(l)$, $f$ étant continue en $l$.

Rappel : théorème du point fixe

Soit $(u_n)$ une suite définie par récurrence

$\forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_{n+1}=f(u_n)$, $f$ continue sur $\mathbb{R}$

Si $(u_n)$ converge vers $l$, alors $l$ est un point fixe de $f$ et vérifie 

$f(l)=l$.

Application 

$u_0=1, \forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n}) \; (a>0,  \; a \neq 1)$

Montrons que $(u_n)$ converge vers $\sqrt{a}$.

On commence par démontrer par récurrence que $\forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_n > \sqrt{a}$ :

Initialisation on pose $n=0$

$u_1=\dfrac{1}{2}(1+a)$ mais

$(1-\sqrt{a})^2=1-2\sqrt{a}+a>0$ donc

$u_1=\dfrac{1+a}{2}>\sqrt{a}$

Hérédité soit $n \in \mathbb{N^*}$

On suppose $u_n>\sqrt{a}$ (hypothèse de récurrence), alors : 

$u_{n+1}-\sqrt{a}=\dfrac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2u_n}>0$

Enfin $u_{n+1}-u_n=\dfrac{a-u_n^2}{2u_n}$

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{(\sqrt{a}-u_n)(\sqrt{a}+u_n)}{2u_n}<0$

donc $(u_n)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{a}$

Elle converge donc vers un réel positif qui vérifie le théorème du point fixe : $l=f(l)$

$l=f(l)\Leftrightarrow l=\dfrac{1}{2}(l+\frac{a}{l})$

Les solutions de cette équation sont 

$l=f(l)\Leftrightarrow l=\pm \sqrt{a}$.

On ne retient que la valeur positive. 

$(u_n)$ converge vers $\sqrt{a}$.