Formule du binôme de Newton

Formule de binôme de Newton, démonstration 1

Formule du binôme de Newton

Définition

La formule du binôme de Newton est la suivante :

Pour tout $(a, b) \in \mathbb{K}^2$ (avec $\mathbb{K}$ l’ensemble des réels ou des complexes) et pour tout $n \in \mathbb{N}$:

$(a + b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k}$.

Une forme développée de l’expression précédente est :

$(a + b)^n = \left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right ) a^0b^{n} + \left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right ) a^1b^{n-1} + …+\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k}+…+\left ( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right ) a^{n-1}b^{1}+\left ( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right ) a^{n}b^{0}$

Certains termes peuvent être simplifiés. En effet :

$\left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right ) = 1$ et $\left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right ) = n$.

Ainsi, on réécrit le développement sous la forme :

$(a + b)^n = b^n + n ab^{n-1} + …+\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k}+…+n a^{n-1}b+a^n$.

On pourra alors remarquer que les puissances de $a$ sont croissantes  de $1$ en $1$ et que les puissances de $b$ sont décroissantes de $1$ en $1$, de telle sorte que la puissance totale (c’est à dire la somme des exposantes) reste constamment égale à $n$. 

En outre, l’addition étant commutative (c’est à dire que l’on peut sommer dans l’ordre que l’on veut), il est possible d’écrire :

$(a + b)^n = (b + a)^n = \displaystyle \sum_{p=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ p \end{array} \right ) a^{n-p}b^{p}$.

En d’autres termes, $a$ joue le rôle de $b$ et $b$ le rôle de $a$.

Une autre manière de démontrer cette propriété est d’utiliser le fait que $\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} n \\ n-k \end{array} \right )$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ tel que $0 \leq k \leq n$. 

Ainsi, $(a + b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ n – k \end{array} \right ) a^kb^{n-k}$.

En effectuant le changement de variable $p = n – k$ et en réordonnant la somme dans le bon ordre (car $k$ varie de $0$ à $n$ donc $p$ devrait varier de $n$ à $0$ ce qui n’est pas possible), on retrouve que

$(a + b)^n = (b + a)^n = \displaystyle \sum_{p=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ p \end{array} \right ) a^{n-p}b^{p}$.

Afin d’améliorer la compréhension de la formule, une bonne démarche est de l’appliquer pour des petites valeurs de $n$.

• Pour $n = 0$, on a

$(a + b)^0 = 1$ par convention.

Or $\displaystyle \sum_{k=0}^0 \left ( \begin{array}{c} 0 \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k} = 1 \times 1 \times 1 = 1 = (a + b)^0$.

• Pour $n = 1$, on a

$(a + b)^1 = a + b$.

Or $\displaystyle \sum_{k=0}^1 \left ( \begin{array}{c} 1 \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k} =\left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right )  \times a^0b^1 + \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right )  \times a^1b^0 = 1 \times b + 1 \times a = a + b = (a + b)^1$.

• Pour $n = 2$, on a

$(a + b)^2 =a^2 + 2ab+ b^2$.

Or $\displaystyle \sum_{k=0}^2 \left ( \begin{array}{c} 2 \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k} =\left ( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right )  \times a^0b^2 + \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right )  \times a^1b^1 + \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right )  \times a^2b^0 = 1 \times b^2 + 2 \times ab + 1 \times a^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

On peut aussi vérifier que $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 +b^3$ en utilisant le fait que $\left ( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right ) = 3$.

La formule du binôme de Newton est donc une généralisation des identités remarquables. 

Démonstration

On propose une première démonstration de la formule en se basant sur du dénombrement. 

Soient $(a, b) \in \mathbb{K}^2$et soit $n \in \mathbb{N}$:

$(a + b)^n = (a + b)(a + b)…(a + n)$, c’est à dire le produit de $n$ facteurs égaux à $a + b$.

On choisit alors un indice $k$ appartenant à l’intervalle d’entiers $[\![0, n ]\!]$.

On sait qu’il n’existe un terme dans le développement qui soit égal à $a^n$ car il ne faut choisir que des $a$ lors du produit ce qui n’arrive qu’une fois. De la même manière, si on ne choisit jamais des $a$ mais que des $b$ on obtient une seule fois $b^n$. 

On s’intéresse alors au nombre de possibilités pour obtenir un terme de la forme $a^kb^{n-k}$ en choisissant $k$ fois le $a$ dans la parenthèse et donc $n – k$ fois le $b$ (il n’y a que $n$ multiplications pour obtenir un terme du développement). 

Ainsi, cela revient à choisir $k$ fois le nombre $a$ parmi les $n$ parenthèses. Il s’agit donc d’un modèle de tirage ni ordre ni répétition (c’est le modèle de la poignée) et il y a donc $\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )$ choix possibles.

Ainsi, on dénombre $\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right )$ termes de la forme $a^kb^{n-k}$. On vient donc de trouver, en regroupant tous les termes de la forme $a^kb^{n-k}$, le coefficient de la formule. 

On remarquera une hypothèse fondamentale utilisée dans cette démonstration. En effet, admettons que l’on veuille obtenir le terme $a^2b^{n-2}$. Une première possibilité consiste à choisir les deux $a$ dans les deux premières parenthèses. Le produit sans réarrangement est donc $a^2b^{n-2}$. Mais si on choisit le terme $a$ puis le terme $b$ puis à nouveau le terme $a$ et enfin les termes $b$ on obtient après produit $abab^{n-3}$ qui est égal à $a^2b^{n-2}$ par commutativité du produit.

Ainsi la formule du binôme de Newton est valable lorsque le produit est commutatif, ce qui est toujours vrai pour l’ensemble des nombres réels et complexes mais qui ne l’est généralement pas lors du produit de deux matrices. Il s’agira donc de vérifier que les matrices $A$ et $B$ commutent dans le produit, c’est à dire que $AB = BA$.