Formule des probabilités totales

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Probabilité d'une réunion
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Probabilité d'une réunion - Exercice
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Formule des probabilités totales
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Formule des probabilités totales - Exercice

Probabilité d'une réunion

Probabilité d’une réunion

Propriété

$A\cap B$ est l’événement constitué des issues communes à $A$ et à $B$ .

$A\cup B$ est l’événement constitué des issues appartenant à $A$ ou $B$ .

$\boxed{ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)}$

Si $A \cap B = \varnothing$ alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$ .

Exemple

Au mois d’août, un club comporte 300 vacanciers :

75 font de la planche à voile
129 font de la plongée
30 font les deux activités

Calculer la probabilité qu’un vacancier de ce club choisi au hasard pratique au moins une des deux activités.

étape 1 : On reconnaît dans l’énoncé l’expression clé qui nous indique une réunion, ici ” au moins “.
étape 2 : On distingue les événements présents dans l’énoncé :

$V$ : “Le vacancier choisi au hasard qui pratique la voile “.

$P$ : “Le vacancier choisi au hasard qui pratique la plongée “.

étape 3 : On applique la formule du cours sur la probabilité d’une réunion :

$p(V\cup P)=p(V)+p(P)-p(V\cap P)$

$p(V\cup P)= \dfrac{75}{300}+\dfrac{129}{300}-\dfrac{30}{300}$

$p(V\cup P)=0,58$

Probabilité d'une réunion - Exercice

Exercice

Au mois d’août, un club comporte 300 vacanciers :

75 font de la planche à voile
129 font de la plongée
30 font les deux activités

Calculer la probabilité qu’un vacancier choisi au hasard pratique au moins une des deux activités.

Étape 1 : On reconnaît dans l’énoncé l’expression clé qui nous indique une réunion, ici “au moins”.
Étape 2 : On distingue les événements présents dans l’énoncé.
Étape 3 : On applique la formule du cours sur la probabilité d’une réunion :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

Formule des probabilités totales

Définition

Une partition de $\Omega$ est un ensemble de parties de $\Omega$ deux à deux disjointes et dont la réunion est $\Omega$ .

Propriété

Si $B_1 , B_2\ldots,B_n$ forment une partition de $\Omega$ , alors, pour tout événement $A$ , on a:

$p(A)= p(A\cap B_1) + p(A\cap B_2)+\ldots + p(A\cap B_n)$

Exemple

Un sac contient des jetons de 3 couleurs différentes : blancs (50%), verts (25%) et jaunes (25%).

Les jetons peuvent être ronds ou carrés.

La moitié des jetons blancs sont ronds, 70% des jetons verts sont carrés et 4 jetons jaunes sur 10 sont ronds.

On choisit un jeton au hasard. Quelle est la probabilité que le jeton soit rond ?

On note les événements :

$B$ : “Le jeton est blanc “.

$V$ : “Le jeton est vert “.

$J$ : “Le jeton est jaune “.

$R$ : “Le jeton est rond “.

$C$ : “Le jeton est carré “.

étape 1 : On réalise un arbre de probabilité afin de mieux visualiser chaque situation.

étape 2 : On remarque que les événements $B, V$ et $J$ forment une partition de l’univers (et il faut l’écrire !).
étape 3 : On applique la formule des probabilités totales.

$p(R)= p(B\cap R) + p(J\cap R)+p(V\cap R)$

$p(R)= p(B)\times p_{B}(R) + p(J)\times p_{J}(R)+ p(V)\times p_{V}(R)$

$p(R)= 0,5\times 0,5 + 0,25 \times 0,3 + 0,25\times 0,4$

$p(R) = 0,425$

La probabilité que le jeton soit rond est égale à 0,425.

Formule des probabilités totales - Exercice

Exercice

Un sac contient des jetons de 3 couleurs différentes : blancs (50%), verts (25%) et jaunes (25%).

Les jetons peuvent être ronds ou carrés. On choisit un jeton au hasard. Quelle est la probabilité que le jeton soit rond ?

Étape 1 : On réalise un arbre de probabilité afin de mieux visualiser chaque situation.
Étape 2 : On remarque que les événements B, V et J forment une partition de l’univers (et il faut l’écrire !).
Étape 3 : On applique la formule des probabilités totales.